4.1 માઇન્ડ-રીડિંગ ગેમ!

શિક્ષકે કહ્યું છે કે તેઓ ગણિતમાં એક નવો પ્રકરણ શરૂ કરશે અને તે સરળ સમીકરણો હશે. અપ્પુ, સરિતા અને અમીનાએ કક્ષા VI માં બીજગણિતના પ્રકરણમાં શીખેલું તેનું પુનરાવર્તન કર્યું છે. તમે કર્યું છે? અપ્પુ, સરિતા અને અમીના ઉત્સાહિત છે કારણ કે તેઓએ એક રમત બનાવી છે જેને તેઓ માઇન્ડ રીડર કહે છે અને તેઓ તેને આખી વર્ગને રજૂ કરવા માંગે છે.

શિક્ષક તેમના ઉત્સાહની પ્રશંસા કરે છે અને તેમને તેમની રમત રજૂ કરવા માટે આમંત્રિત કરે છે. અમીના શરૂ કરે છે; તેણી સારાને એક સંખ્યા વિચારવા, તેને 4 વડે ગુણાકાર કરવા અને ગુણાકારમાં 5 ઉમેરવા માટે કહે છે. પછી, તેણી સારાને પરિણામ કહેવા માટે કહે છે. તેણી કહે છે કે તે 65 છે. અમીના તરત જ જાહેર કરે છે કે સારાએ જે સંખ્યા વિચારી હતી તે 15 છે. સારા માથું હલાવે છે. સારા સહિત આખો વર્ગ આશ્ચર્યચકિત છે.

હવે અપ્પુનો વારો છે. તેણે બાલુને એક સંખ્યા વિચારવા, તેને 10 વડે ગુણાકાર કરવા અને ગુણાકારમાંથી 20 બાદ કરવા માટે કહ્યું. પછી તેણે બાલુને પૂછ્યું કે તેનું પરિણામ શું છે? બાલુ કહે છે કે તે 50 છે. અપ્પુ તરત જ બાલુએ વિચારેલી સંખ્યા કહી દે છે. તે 7 છે, બાલુ તેની પુષ્ટિ કરે છે.

દરેક જાણવા માંગે છે કે અપ્પુ, સરિતા અને અમીનાએ રજૂ કરેલ ‘માઇન્ડ રીડર’ કેવી રીતે કામ કરે છે. શું તમે જોઈ શકો છો કે તે કેવી રીતે કામ કરે છે? આ પ્રકરણ અને પ્રકરણ 12 નો અભ્યાસ કર્યા પછી, તમને સારી રીતે ખબર પડશે કે રમત કેવી રીતે કામ કરે છે.

4.2 સમીકરણની રચના

ચાલો અમીનાના ઉદાહરણને લઈએ. અમીના સારાને એક સંખ્યા વિચારવા માટે કહે છે. અમીનાને સંખ્યા ખબર નથી. તેના માટે, તે કંઈપણ હોઈ શકે છે $1,2,3, \ldots, 11, \ldots, 100, \ldots$ ચાલો આ અજ્ઞાત સંખ્યાને એક અક્ષર દ્વારા દર્શાવીએ, ધારો કે $x$. તમે $y$ અથવા $t$ અથવા કેટલાક અન્ય અક્ષરોનો ઉપયોગ $x$ ની જગ્યાએ કરી શકો છો. સારાએ વિચારેલી અજ્ઞાત સંખ્યા દર્શાવવા માટે આપણે કયા અક્ષરનો ઉપયોગ કરીએ છીએ તેનો કોઈ ફરક પડતો નથી. જ્યારે સારા સંખ્યાને 4 વડે ગુણાકાર કરે છે, ત્યારે તેને $4 x$ મળે છે. પછી તેણી ગુણાકારમાં 5 ઉમેરે છે, જે $4 x+5$ આપે છે. $(4 x+5)$ ની કિંમત $x$ ની કિંમત પર આધારિત છે. આમ જો $x=1,4 x+5=4 \times 1+5=9$. આનો અર્થ એ છે કે જો સારાના મનમાં 1 હોત, તો તેનું પરિણામ 9 હોત. તે જ રીતે, જો તેણીએ 5 વિચાર્યું હોત, તો $x=5,4 x+5=4 \times 5+5=25$ માટે; આમ જો સારાએ 5 પસંદ કર્યું હોત, તો પરિણામ 25 હોત.

સારાએ વિચારેલી સંખ્યા શોધવા માટે ચાલો તેના જવાબ 65 માંથી પાછળની દિશામાં કામ કરીએ. આપણે $x$ એવું શોધવું પડશે કે

$$ \begin{equation*} 4 x+5=65 \tag{4.1} \end{equation*} $$

સમીકરણનો ઉકેલ આપણને તે સંખ્યા આપશે જે સારાએ મનમાં રાખી હતી.

ચાલો તે જ રીતે અપ્પુના ઉદાહરણને જોઈએ. ચાલો બાલુએ પસંદ કરેલી સંખ્યાને y કહીએ. અપ્પુ બાલુને સંખ્યાને 10 વડે ગુણાકાર કરવા અને ગુણાકારમાંથી 20 બાદ કરવા માટે કહે છે. એટલે કે, $y$ માંથી, બાલુને પહેલા $10 y$ મળે છે અને ત્યાંથી $(10 y-20)$ મળે છે. પરિણામ 50 છે તે જાણીતું છે.

તેથી,

$$ \begin{equation*} 10 y-20=50 \tag{4.2} \end{equation*} $$

આ સમીકરણનો ઉકેલ આપણને બાલુએ વિચારેલી સંખ્યા આપશે.

4.3 આપણે શું જાણીએ છીએ તેની સમીક્ષા

નોંધ કરો, (4.1) અને (4.2) સમીકરણો છે. ચાલો કક્ષા VI માં આપણે સમીકરણો વિશે શીખ્યા તે યાદ કરીએ. સમીકરણ એ ચલ પરની એક શરત છે. સમીકરણ (4.1) માં, ચલ $x$ છે; સમીકરણ (4.2) માં, ચલ $y$ છે.

ચલ શબ્દનો અર્થ એવી વસ્તુ છે જે બદલાઈ શકે, એટલે કે પરિવર્તન થઈ શકે. ચલ વિવિધ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો લે છે; તેનું મૂલ્ય નિશ્ચિત નથી. ચલો સામાન્ય રીતે વર્ણમાળાના અક્ષરો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, જેમ કે $x, y, z, l, m, n, p$, વગેરે. ચલોમાંથી, આપણે સમીકરણો બનાવીએ છીએ. સમીકરણો ચલો પર સરવાળો, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર જેવી ક્રિયાઓ કરીને બનાવવામાં આવે છે. $x$ માંથી, આપણે સમીકરણ $(4 x+5)$ બનાવ્યું. આ માટે, પહેલા આપણે $x$ ને 4 વડે ગુણાકાર કર્યો અને પછી ગુણાકારમાં 5 ઉમેર્યા. તે જ રીતે, $y$ માંથી, આપણે સમીકરણ $(10 y-20)$ બનાવ્યું. આ માટે, આપણે $y$ ને 10 વડે ગુણાકાર કર્યો અને પછી ગુણાકારમાંથી 20 બાદ કર્યા. આ બધા સમીકરણોના ઉદાહરણો છે.

આ રીતે બનેલા સમીકરણનું મૂલ્ય પસંદ કરેલા ચલના મૂલ્ય પર આધારિત છે. જેમ આપણે પહેલાથી જોયું છે, જ્યારે $x=1,4 x+5=9$; જ્યારે $x=5,4 x+5=25$. તે જ રીતે, જ્યારે

$ \begin{aligned} & x=15,4 x+5=4 \times 15+5=65 \\ & x=0,4 x+5=4 \times 0+5=5 ; \text{ and so on. } \end{aligned} $

જ્યારે

સમીકરણ (4.1) એ ચલ $x$ પરની એક શરત છે. તે જણાવે છે કે સમીકરણ $(4 x+5)$ નું મૂલ્ય 65 છે. શરત સંતોષાય છે જ્યારે $x=15$. તે સમીકરણ $4 x+5=65$ નો ઉકેલ છે. જ્યારે $x=5,4 x+5=25$ અને 65 નહીં. આમ $x=5$ સમીકરણનો ઉકેલ નથી. તે જ રીતે, $x=0$ સમીકરણનો ઉકેલ નથી. $x$ નું 15 સિવાયનું કોઈપણ મૂલ્ય શરત $4 x+5=65$ ને સંતોષતું નથી.

આ પ્રયાસ કરો

સમીકરણ $(10 y-20)$ નું મૂલ્ય $y$ ના મૂલ્ય પર આધારિત છે. $y$ ને પાંચ અલગ-અલગ મૂલ્યો આપીને અને દરેક $y$ માટે $(10 y-20)$ નું મૂલ્ય શોધીને આને ચકાસો. $(10 y-20)$ ના તમે મેળવેલા વિવિધ મૂલ્યોમાંથી, શું તમે $10 y-20=50$ નો ઉકેલ જોઈ શકો છો? જો કોઈ ઉકેલ ન હોય, તો $y$ ને વધુ મૂલ્યો આપવાનો પ્રયાસ કરો અને શરત $10 y-20=50$ પૂરી થાય છે કે નહીં તે શોધો.

4.4 સમીકરણ શું છે?

સમીકરણમાં હંમેશા સમાનતાનું ચિહ્ન હોય છે. સમાનતાનું ચિહ્ન દર્શાવે છે કે ચિહ્નની ડાબી બાજુ (ડાબી બાજુ અથવા LHS) ની અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય ચિહ્નની જમણી બાજુ (જમણી બાજુ અથવા RHS) ની અભિવ્યક્તિના મૂલ્ય જેટલું છે. સમીકરણ (4.1) માં, LHS $(4 x+5)$ છે અને RHS 65 છે. સમીકરણ (4.2) માં, LHS $(10 y-20)$ છે અને RHS 50 છે.

જો LHS અને RHS વચ્ચે સમાનતાના ચિહ્ન સિવાય કોઈ અન્ય ચિહ્ન હોય, તો તે સમીકરણ નથી. આમ, $4 x+5>65$ સમીકરણ નથી.

તે કહે છે કે, $(4 x+5)$ નું મૂલ્ય 65 કરતા વધારે છે.

તે જ રીતે, $4 x+5<65$ સમીકરણ નથી. તે કહે છે કે $(4 x+5)$ નું મૂલ્ય 65 કરતા ઓછું છે.

સમીકરણોમાં, આપણે ઘણીવાર જોઈએ છીએ કે RHS માત્ર એક સંખ્યા છે. સમીકરણ (4.1) માં, તે 65 છે અને સમીકરણ (4.2) માં, તે 50 છે. પરંતુ આ હંમેશા આવું હોવું જરૂરી નથી. સમીકરણની RHS એ ચલ ધરાવતી અભિવ્યક્તિ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ

$ 4 x+5=6 x-25 $

ની ડાબી બાજુએ $(4 x+5)$ અને સમાનતાના ચિહ્નની જમણી બાજુએ $(6 x-25)$ છે.

સંક્ષેપમાં, સમીકરણ એ ચલ પરની એક શરત છે. શરત એ છે કે બે અભિવ્યક્તિઓનું મૂલ્ય સમાન હોવું જોઈએ. નોંધ કરો કે બે અભિવ્યક્તિઓમાંથી ઓછામાં ઓછી એકમાં ચલ હોવું જોઈએ.

આપણે સમીકરણોની એક સરળ અને ઉપયોગી મિલકત પણ નોંધીએ છીએ. સમીકરણ $4 x+5=65$ એ $65=4 x+5$ જેવું જ છે. તે જ રીતે, સમીકરણ $6 x-25=4 x+5$ એ $4 x+5=6 x-25$ જેવું જ છે. જ્યારે ડાબી અને જમણી બાજુની અભિવ્યક્તિઓની અદલાબદલી કરવામાં આવે છે ત્યારે સમીકરણ એ જ રહે છે. સમીકરણો ઉકેલવામાં આ ગુણધર્મ ઘણીવાર ઉપયોગી થાય છે.

ઉદાહરણ 1 નીચેના વિધાનોને સમીકરણના સ્વરૂપમાં લખો:

(i) ત્રણ ગણા $x$ અને 11 નો સરવાળો 32 છે.

(ii) જો તમે 6 ગણી સંખ્યામાંથી 5 બાદ કરો, તો તમને 7 મળે છે.

(iii) $m$ નો એક ચતુર્થાંશ 7 કરતા 3 વધારે છે.

(iv) એક સંખ્યાનો એક તૃતીયાંશ વત્તા 5 એ 8 છે.

ઉકેલ

(i) ત્રણ ગણા $x$ એ $3 x$ છે.

$3 x$ અને 11 નો સરવાળો $3 x+11$ છે. સરવાળો 32 છે.

સમીકરણ $3 x+11=32$ છે.

(ii) ચાલો કહીએ કે સંખ્યા $z ; z$ ને 6 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે તો $6 z$ છે.

$6 z$ માંથી 5 બાદ કરવાથી, એકને $6 z-5$ મળે છે. પરિણામ 7 છે.

સમીકરણ $6 z-5=7$ છે (iii) $m$ નો એક ચતુર્થાંશ $\frac{m}{4}$ છે.

તે 7 કરતા 3 વધારે છે. આનો અર્થ એ છે કે તફાવત $(\frac{m}{4}-7)$ 3 છે.

સમીકરણ $\frac{m}{4}-7=3$ છે.

(iv) સંખ્યાને $n$ લો. $n$ નો એક તૃતીયાંશ $\frac{n}{3}$ છે.

આ એક તૃતીયાંશ વત્તા 5 એ $\frac{n}{3}+5$ છે. તે 8 છે.

સમીકરણ $\frac{n}{3}+5=8$ છે.

ઉદાહરણ 2 નીચેના સમીકરણોને વિધાન સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરો:

(i) $x-5=9$

(ii) $5 p=20$

(iii) $3 n+7=1$

(iv) $\frac{m}{5}-2=6$

ઉકેલ

(i) $x$ માંથી 5 લઈ લેવાથી 9 મળે છે.

(ii) પાંચ ગણી સંખ્યા $p$ એ 20 છે.

(iii) $n$ ના ત્રણ ગણામાં 7 ઉમેરવાથી 1 મળે છે.

(iv) જ્યારે તમે એક સંખ્યા $m$ ના એક પંચમાંશમાંથી 2 બાદ કરો, ત્યારે તમને 6 મળે છે.

એ નોંધવું અગત્યનું છે કે આપેલ સમીકરણ માટે, માત્ર એક જ નહીં, પરંતુ ઘણા વિધાન સ્વરૂપો આપી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઉપરના સમીકરણ (i) માટે, તમે કહી શકો છો:

આ પ્રયાસ કરો

દરેક સમીકરણ (ii), (iii) અને (iv) માટે ઓછામાં ઓછું એક અન્ય સ્વરૂપ લખો.

$x$ માંથી 5 બાદ કરો, તમને 9 મળે છે.

અથવા સંખ્યા $x$ એ 9 કરતા 5 વધારે છે.

અથવા સંખ્યા $x$ એ 9 કરતા 5 વડે વધારે છે.

અથવા $x$ અને 5 વચ્ચેનો તફાવત 9 છે, અને તેથી વધુ.

ઉદાહરણ 3 નીચેની પરિસ્થિતિ ધ્યાનમાં લો:

રાજુના પિતાની ઉંમર રાજુની ઉંમરના ત્રણ ગણા કરતાં 5 વર્ષ વધારે છે. રાજુના પિતા 44 વર્ષના છે. રાજુની ઉંમર શોધવા માટે સમીકરણ બનાવો.

ઉકેલ

આપણને રાજુની ઉંમર ખબર નથી. ચાલો તેને $y$ વર્ષ લઈએ. રાજુની ઉંમરના ત્રણ ગણા $3 y$ વર્ષ છે. રાજુના પિતાની ઉંમર $3 y$ કરતાં 5 વર્ષ વધારે છે; એટલે કે, રાજુના પિતા $(3 y+5)$ વર્ષના છે. એ પણ આપેલ છે કે રાજુના પિતા 44 વર્ષના છે.

તેથી,

$$ \begin{equation*} 3 y+5=44 \tag{4.3} \end{equation*} $$

આ $y$ માં એક સમીકરણ છે. તે ઉકેલાય ત્યારે રાજુની ઉંમર આપશે.

ઉદાહરણ 4 એક દુકાનદાર આંબાની વેચાણ બે પ્રકારના બોક્સમાં કરે છે, એક નાનું અને એક મોટું. એક મોટા બોક્સમાં 8 નાના બોક્સ વત્તા 4 છૂટા આંબા હોય છે. એક સમીકરણ બનાવો જે દરેક નાના બોક્સમાં આંબાની સંખ્યા આપે. મોટા બોક્સમાં આંબાની સંખ્યા 100 આપવામાં આવી છે.

ઉકેલ

ધારો કે એક નાના બોક્સમાં $m$ આંબા હોય છે. એક મોટા બોક્સમાં 8 ગણા $m$ કરતાં 4 વધારે હોય છે, એટલે કે, $8 m+4$ આંબા હોય છે. પરંતુ આ 100 આપવામાં આવ્યું છે. આમ

$$ \begin{equation*} 8 m+4=100 \tag{4.4} \end{equation*} $$

આ સમીકરણ ઉકેલીને તમે નાના બોક્સમાં આંબાની સંખ્યા મેળવી શકો છો.

કસરત 4.1

1. કોષ્ટકનો છેલ્લો સ્તંભ પૂર્ણ કરો.

2. કૌંસમાં આપેલ મૂલ્ય આપેલ સમીકરણનો ઉકેલ છે કે નહીં તે તપાસો:

(a) $n+5=19(n=1)$

(b) $7 n+5=19(n=-2)$

(c) $7 n+5=19(n=2)$

(d) $4 p-3=13(p=1)$

(e) $4 p-3=13(p=-4)$

(f) $4 p-3=13(p=0)$

3. પ્રયત્ન અને ભૂલ પદ્ધતિ દ્વારા નીચેના સમીકરણો ઉકેલો:

(i) $5 p+2=17$

(ii) $3 m-14=4$

4. નીચેના વિધાનો માટે સમીકરણો લખો:

(i) સંખ્યાઓ $x$ અને 4 નો સરવાળો 9 છે.

(ii) $y$ માંથી 2 બાદ કરવાથી 8 મળે છે.

(iii) દસ ગણી $a$ એ 70 છે.

(iv) સંખ્યા $b$ ને 5 વડે ભાગવાથી 6 મળે છે.

(v) $t$ ના ત્રણ-ચતુર્થાંશ એ 15 છે.

(vi) સાત ગણી $m$ વત્તા 7 એ 77 આપે છે.

(vii) એક સંખ્યા $x$ ના એક ચતુર્થાંશમાંથી 4 બાદ કરવાથી 4 મળે છે.

(viii) જો તમે 6 ગણી $y$ માંથી 6 લઈ લો, તો તમને 60 મળે છે.

(ix) જો તમે $z$ ના એક તૃતીયાંશમાં 3 ઉમેરો, તો તમને 30 મળે છે.

5. નીચેના સમીકરણોને વિધાન સ્વરૂપમાં લખો:

(i) $p+4=15$

(ii) $m-7=3$

(iii) $2 m=7$

(iv) $\frac{m}{5}=3$

(v) $\frac{3 m}{5}=6$

(vi) $3 p+4=25$

(vii) $4 p-2=18$

(viii) $\frac{p}{2}+2=8$

6. નીચેના કિસ્સાઓમાં સમીકરણ બનાવો:

(i) ઇરફાન કહે છે કે તેની પાસે પરમિત પાસે જેટલા ગોટા છે તેના પાંચ ગણા કરતાં 7 ગોટા વધારે છે. ઇરફાન પાસે 37 ગોટા છે. (પરમિતના ગોટાની સંખ્યા $m$ લો.)

(ii) લક્ષ્મીના પિતા 49 વર્ષના છે. તેઓ લક્ષ્મીની ઉંમરના ત્રણ ગણા કરતાં 4 વર્ષ મોટા છે. (લક્ષ્મીની ઉંમર $y$ વર્ષ લો.)

(iii) શિક્ષક વર્ગને કહે છે કે તેની કક્ષામાં એક વિદ્યાર્થી દ્વારા મેળવેલા સૌથી વધુ ગુણ એ સૌથી ઓછા ગુણના બમણા વત્તા 7 છે. સૌથી વધુ સ્કોર 87 છે. (સૌથી ઓછો સ્કોર $l$ લો.)

(iv) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં, શિરોબિંદુ કોણ કોઈપણ પાયાના કોણ કરતાં બમણું હોય છે. (પાયાનો કોણ $b$ ડિગ્રીમાં લો. યાદ રાખો કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો 180 ડિગ્રી છે).

4.4.1 સમીકરણ ઉકેલવું

સમાનતા $\quad 8-3=4+1$ ધ્યાનમાં લો

સમાનતા (4.5) ધરાવે છે, કારણ કે તેની બંને બાજુઓ સમાન છે (દરેક 5 ની બરાબર છે).

• ચાલો હવે બંને બાજુઓમાં 2 ઉમેરીએ; પરિણામે

LHS $=8-3+2=5+2=7 \quad$ RHS $=4+1+2=5+2=7$.

ફરીથી સમાનતા ધરાવે છે (એટલે કે, તેની LHS અને RHS સમાન છે).

આમ જો આપણે સમાનતાની બંને બાજુઓમાં સમાન સંખ્યા ઉમેરીએ, તો તે હજુ પણ ધરાવે છે.

• ચાલો હવે બંને બાજુઓમાંથી 2 બાદ કરીએ; પરિણામે,

LHS $=8-3-2=5-2=3$

RHS $=4+1-2=5-2=3$.

ફરીથી, સમાનતા ધરાવે છે.

આમ જો આપણે સમાનતાની બંને બાજુઓમાંથી સમાન સંખ્યા બાદ કરીએ, તો તે હજુ પણ ધરાવે છે.

• તે જ રીતે, જો આપણે સમાનતાની બંને બાજુઓને સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ અથવા ભાગાકાર કરીએ, તો તે હજુ પણ ધરાવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સમાનતાની બંને બાજુઓને 3 વડે ગુણાકાર કરીએ, આપણને મળે છે

LHS $=3 \times(8-3)=3 \times 5=15, \quad$ RHS $=3 \times(4+1)=3 \times 5=15$.

સમાનતા ધરાવે છે.

ચાલો હવે સમાનતાની બંને બાજુઓને 2 વડે ભાગીએ.

LHS $=(8-3) \div 2=5 \div 2=\frac{5}{2}$

RHS $=(4+1) \div 2=5 \div 2=\frac{5}{2}=$ LHS

ફરીથી, સમાનતા ધરાવે છે.

જો આપણે કોઈપણ અન્ય સમાનતા લઈએ, તો આપણે સમાન તારણો શોધ