4.1 ਇੱਕ ਮਨ ਪੜ੍ਹਨ ਵਾਲਾ ਖੇਡ!

ਅਧਿਆਪਕਾ ਨੇ ਕਿਹਾ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਅਧਿਆਇ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਸਧਾਰਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਬਾਰੇ ਹੋਵੇਗਾ। ਅੱਪੂ, ਸਰੀਤਾ ਅਤੇ ਅਮੀਨਾ ਨੇ ਕਲਾਸ VI ਵਿੱਚ ਬੀਜਗਣਿਤ ਦੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਜੋ ਸਿੱਖਿਆ ਸੀ, ਉਸ ਦੀ ਸਮੀਖਿਆ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕੀਤੀ ਹੈ? ਅੱਪੂ, ਸਰੀਤਾ ਅਤੇ ਅਮੀਨਾ ਉਤਸ਼ਾਹਿਤ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੇ ਇੱਕ ਖੇਡ ਬਣਾਈ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਉਹ ਮਾਈਂਡ ਰੀਡਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹ ਇਸਨੂੰ ਪੂਰੀ ਕਲਾਸ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ ਪੇਸ਼ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਅਧਿਆਪਕਾ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਉਤਸ਼ਾਹ ਦੀ ਕਦਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਆਪਣੀ ਖੇਡ ਪੇਸ਼ ਕਰਨ ਲਈ ਸੱਦਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਅਮੀਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੀ ਹੈ; ਉਹ ਸਾਰਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣ, ਇਸਨੂੰ 4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ 5 ਜੋੜਨ ਲਈ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਫਿਰ, ਉਹ ਸਾਰਾ ਨੂੰ ਨਤੀਜਾ ਦੱਸਣ ਲਈ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਉਹ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਹ 65 ਹੈ। ਅਮੀਨਾ ਤੁਰੰਤ ਐਲਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਾਰਾ ਨੇ ਜਿਸ ਸੰਖਿਆ ਬਾਰੇ ਸੋਚਿਆ ਸੀ ਉਹ 15 ਹੈ। ਸਾਰਾ ਸਿਰ ਹਿਲਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਸਾਰਾ ਸਮੇਤ ਪੂਰੀ ਕਲਾਸ ਹੈਰਾਨ ਹੈ।

ਹੁਣ ਅੱਪੂ ਦੀ ਵਾਰੀ ਹੈ। ਉਹ ਬਾਲੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣ, ਇਸਨੂੰ 10 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚੋਂ 20 ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਉਹ ਬਾਲੂ ਨੂੰ ਪੁੱਛਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਸਦਾ ਨਤੀਜਾ ਕੀ ਹੈ? ਬਾਲੂ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ 50 ਹੈ। ਅੱਪੂ ਤੁਰੰਤ ਬਾਲੂ ਦੁਆਰਾ ਸੋਚੀ ਗਈ ਸੰਖਿਆ ਦੱਸ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ 7 ਹੈ, ਬਾਲੂ ਇਸਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਹਰ ਕੋਈ ਜਾਣਨਾ ਚਾਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅੱਪੂ, ਸਰੀਤਾ ਅਤੇ ਅਮੀਨਾ ਦੁਆਰਾ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ‘ਮਾਈਂਡ ਰੀਡਰ’ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇਹ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦਾ ਹੈ? ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਅਤੇ ਅਧਿਆਇ 12 ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਤੁਸੀਂ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਣ ਜਾਓਗੇ ਕਿ ਖੇਡ ਕਿਵੇਂ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ।

4.2 ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਸਥਾਪਨਾ

ਚਲੋ ਅਮੀਨਾ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ। ਅਮੀਨਾ ਸਾਰਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣ ਲਈ ਕਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਅਮੀਨਾ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਉਸਦੇ ਲਈ, ਇਹ ਕੁਝ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ $1,2,3, \ldots, 11, \ldots, 100, \ldots$ ਚਲੋ ਇਸ ਅਣਜਾਣ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅੱਖਰ, ਮੰਨ ਲਓ $x$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਤੁਸੀਂ $y$ ਜਾਂ $t$ ਜਾਂ ਕੋਈ ਹੋਰ ਅੱਖਰ $x$ ਦੀ ਥਾਂ ‘ਤੇ ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਇਸ ਨਾਲ ਕੋਈ ਫਰਕ ਨਹੀਂ ਪੈਂਦਾ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਾਰਾ ਦੁਆਰਾ ਸੋਚੀ ਗਈ ਅਣਜਾਣ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕਿਹੜਾ ਅੱਖਰ ਵਰਤਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਸਾਰਾ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ 4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਨੂੰ $4 x$ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਉਹ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ 5 ਜੋੜਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ $4 x+5$ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। $(4 x+5)$ ਦਾ ਮੁੱਲ $x$ ਦੇ ਮੁੱਲ ‘ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜੇਕਰ $x=1,4 x+5=4 \times 1+5=9$. ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ ਸਾਰਾ ਦੇ ਮਨ ਵਿੱਚ 1 ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਉਸਦਾ ਨਤੀਜਾ 9 ਹੁੰਦਾ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਉਸਨੇ 5 ਬਾਰੇ ਸੋਚਿਆ, ਤਾਂ $x=5,4 x+5=4 \times 5+5=25$ ਲਈ; ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜੇਕਰ ਸਾਰਾ ਨੇ 5 ਚੁਣਿਆ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ ਨਤੀਜਾ 25 ਹੁੰਦਾ।

ਸਾਰਾ ਦੁਆਰਾ ਸੋਚੀ ਗਈ ਸੰਖਿਆ ਲੱਭਣ ਲਈ ਚਲੋ ਉਸਦੇ ਜਵਾਬ 65 ਤੋਂ ਪਿੱਛੇ ਵੱਲ ਕੰਮ ਕਰੀਏ। ਸਾਨੂੰ $x$ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ ਕਿ

$$ \begin{equation*} 4 x+5=65 \tag{4.1} \end{equation*} $$

ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਸਾਨੂੰ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਦੇਵੇਗਾ ਜੋ ਸਾਰਾ ਨੇ ਆਪਣੇ ਮਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀ ਸੀ।

ਚਲੋ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅੱਪੂ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵੱਲ ਦੇਖੀਏ। ਚਲੋ ਬਾਲੂ ਦੁਆਰਾ ਚੁਣੀ ਗਈ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ y ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਅੱਪੂ ਬਾਲੂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ 10 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚੋਂ 20 ਘਟਾਉਣ ਲਈ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਯਾਨੀ, $y$ ਤੋਂ, ਬਾਲੂ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ $10 y$ ਮਿਲਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਉੱਥੋਂ $(10 y-20)$ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ 50 ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ,

$$ \begin{equation*} 10 y-20=50 \tag{4.2} \end{equation*} $$

ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਸਾਨੂੰ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਦੇਵੇਗਾ ਜਿਸ ਬਾਰੇ ਬਾਲੂ ਨੇ ਸੋਚਿਆ ਸੀ।

4.3 ਸਾਡੇ ਦੁਆਰਾ ਜਾਣੇ ਗਏ ਨੂੰ ਸਮੀਖਿਆ

ਧਿਆਨ ਦਿਓ, (4.1) ਅਤੇ (4.2) ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ। ਚਲੋ ਕਲਾਸ VI ਵਿੱਚ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਬਾਰੇ ਜੋ ਸਿੱਖਿਆ ਸੀ, ਉਸਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੀਏ। ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਚਲ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸ਼ਰਤ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ (4.1) ਵਿੱਚ, ਚਲ $x$ ਹੈ; ਸਮੀਕਰਨ (4.2) ਵਿੱਚ, ਚਲ $y$ ਹੈ।

ਚਲ ਸ਼ਬਦ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕੁਝ ਅਜਿਹਾ ਜੋ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ ਪਰਿਵਰਤਨਸ਼ੀਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਚਲ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ; ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਵਰਣਮਾਲਾ ਦੇ ਅੱਖਰਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $x, y, z, l, m, n, p$, ਆਦਿ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਲਾਂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨ ਚਲਾਂ ‘ਤੇ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਵਰਗੇ ਕਾਰਜ ਕਰਕੇ ਬਣਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। $x$ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ $(4 x+5)$ ਬਣਾਇਆ। ਇਸ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਅਸੀਂ $x$ ਨੂੰ 4 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਫਿਰ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ 5 ਜੋੜਿਆ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $y$ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ $(10 y-20)$ ਬਣਾਇਆ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ $y$ ਨੂੰ 10 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਫਿਰ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚੋਂ 20 ਘਟਾਇਆ। ਇਹ ਸਾਰੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਣੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਚਲ ਦੇ ਚੁਣੇ ਗਏ ਮੁੱਲ ‘ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਦੇਖਿਆ ਹੈ, ਜਦੋਂ $x=1,4 x+5=9$; ਜਦੋਂ $x=5,4 x+5=25$. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜਦੋਂ

$ \begin{aligned} & x=15,4 x+5=4 \times 15+5=65 \\ & x=0,4 x+5=4 \times 0+5=5 ; \text{ and so on. } \end{aligned} $

ਜਦੋਂ

ਸਮੀਕਰਨ (4.1) ਚਲ $x$ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸ਼ਰਤ ਹੈ। ਇਹ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ $(4 x+5)$ ਦਾ ਮੁੱਲ 65 ਹੈ। ਸ਼ਰਤ ਤਾਂ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ $x=15$. ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ $4 x+5=65$ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ। ਜਦੋਂ $x=5,4 x+5=25$ ਅਤੇ 65 ਨਹੀਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ $x=5$ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $x=0$ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। 15 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ $x$ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਮੁੱਲ ਸ਼ਰਤ $4 x+5=65$ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਸਮੀਕਰਨ $(10 y-20)$ ਦਾ ਮੁੱਲ $y$ ਦੇ ਮੁੱਲ ‘ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। $y$ ਨੂੰ ਪੰਜ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁੱਲ ਦੇ ਕੇ ਇਸਦੀ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਅਤੇ ਹਰੇਕ $y$ ਲਈ $(10 y-20)$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ। $(10 y-20)$ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮੁੱਲਾਂ ਤੋਂ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਕੀ ਤੁਸੀਂ $10 y-20=50$ ਦਾ ਹੱਲ ਦੇਖਦੇ ਹੋ? ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ $y$ ਨੂੰ ਹੋਰ ਮੁੱਲ ਦੇਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੇਖੋ ਕਿ ਕੀ ਸ਼ਰਤ $10 y-20=50$ ਪੂਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

4.4 ਸਮੀਕਰਨ ਕੀ ਹੈ?

ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਹਮੇਸ਼ਾ ਇੱਕ ਸਮਾਨਤਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਨਤਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ (ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂ LHS) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ (ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜਾਂ RHS) ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ (4.1) ਵਿੱਚ, LHS $(4 x+5)$ ਹੈ ਅਤੇ RHS 65 ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ (4.2) ਵਿੱਚ, LHS $(10 y-20)$ ਹੈ ਅਤੇ RHS 50 ਹੈ।

ਜੇਕਰ LHS ਅਤੇ RHS ਵਿਚਕਾਰ ਸਮਾਨਤਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਕੋਈ ਹੋਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $4 x+5>65$ ਸਮੀਕਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਇਹ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ $(4 x+5)$ ਦਾ ਮੁੱਲ 65 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $4 x+5<65$ ਸਮੀਕਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ $(4 x+5)$ ਦਾ ਮੁੱਲ 65 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ।

ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ RHS ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ (4.1) ਵਿੱਚ, ਇਹ 65 ਹੈ ਅਤੇ ਸਮੀਕਰਨ (4.2) ਵਿੱਚ, ਇਹ 50 ਹੈ। ਪਰ ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਅਜਿਹਾ ਨਹੀਂ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ। ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ RHS ਚਲ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ

$ 4 x+5=6 x-25 $

ਦੇ ਸਮਾਨਤਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ $(4 x+5)$ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ $(6 x-25)$ ਹੈ।

ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਇੱਕ ਚਲ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸ਼ਰਤ ਹੈ। ਸ਼ਰਤ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਮੁੱਲ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਦੋਹਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਵਿੱਚ ਚਲ ਜ਼ਰੂਰ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਅਤੇ ਉਪਯੋਗੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੀਕਰਨ $4 x+5=65$, $65=4 x+5$ ਵਾਂਗ ਹੀ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮੀਕਰਨ $6 x-25=4 x+5$, $4 x+5=6 x-25$ ਵਾਂਗ ਹੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਉਦੋਂ ਤੱਕ ਉਹੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਅਦਲਾ-ਬਦਲੀ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਅਕਸਰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਉਪਯੋਗੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 1 ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਕਥਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ:

(i) $x$ ਦੇ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਅਤੇ 11 ਦਾ ਜੋੜ 32 ਹੈ।

(ii) ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ 6 ਗੁਣਾ ਵਿੱਚੋਂ 5 ਘਟਾਉਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ 7 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

(iii) $m$ ਦਾ ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ, 7 ਤੋਂ 3 ਵੱਧ ਹੈ।

(iv) ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਇੱਕ ਤਿਹਾਈ ਵਿੱਚ 5 ਜੋੜਨ ‘ਤੇ 8 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

ਹੱਲ

(i) $x$ ਦਾ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ $3 x$ ਹੈ।

$3 x$ ਅਤੇ 11 ਦਾ ਜੋੜ $3 x+11$ ਹੈ। ਜੋੜ 32 ਹੈ।

ਸਮੀਕਰਨ $3 x+11=32$ ਹੈ।

(ii) ਮੰਨ ਲਓ ਸੰਖਿਆ $z ; z$ ਹੈ, 6 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ $6 z$ ਹੈ।

$6 z$ ਵਿੱਚੋਂ 5 ਘਟਾਉਣ ‘ਤੇ, ਇੱਕ ਨੂੰ $6 z-5$ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜਾ 7 ਹੈ।

ਸਮੀਕਰਨ $6 z-5=7$ ਹੈ। (iii) $m$ ਦਾ ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ $\frac{m}{4}$ ਹੈ।

ਇਹ 7 ਤੋਂ 3 ਵੱਧ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਅੰਤਰ $(\frac{m}{4}-7)$ 3 ਹੈ।

ਸਮੀਕਰਨ $\frac{m}{4}-7=3$ ਹੈ।

(iv) ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ $n$ ਮੰਨ ਲਓ। $n$ ਦਾ ਇੱਕ ਤਿਹਾਈ $\frac{n}{3}$ ਹੈ।

ਇਹ ਇੱਕ ਤਿਹਾਈ ਜਮਾ 5, $\frac{n}{3}+5$ ਹੈ। ਇਹ 8 ਹੈ।

ਸਮੀਕਰਨ $\frac{n}{3}+5=8$ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 2 ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਕਥਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ:

(i) $x-5=9$

(ii) $5 p=20$

(iii) $3 n+7=1$

(iv) $\frac{m}{5}-2=6$

ਹੱਲ

(i) $x$ ਵਿੱਚੋਂ 5 ਘਟਾਉਣ ‘ਤੇ 9 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

(ii) ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ $p$ ਦਾ ਪੰਜ ਗੁਣਾ 20 ਹੈ।

(iii) $n$ ਦੇ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਵਿੱਚ 7 ਜੋੜੋ ਤਾਂ 1 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

(iv) ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ $m$ ਦੇ ਇੱਕ ਪੰਜਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚੋਂ 2 ਘਟਾਉਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ 6 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

ਜੋ ਧਿਆਨ ਦੇਣ ਯੋਗ ਹੈ ਉਹ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਲਈ, ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਨਹੀਂ, ਬਲਕਿ ਕਈ ਕਥਨ ਰੂਪ ਦਿੱਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਉਪਰੋਕਤ ਸਮੀਕਰਨ (i) ਲਈ, ਤੁਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ:

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਹਰੇਕ ਸਮੀਕਰਨ (ii), (iii) ਅਤੇ (iv) ਲਈ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਹੋਰ ਰੂਪ ਲਿਖੋ।

$x$ ਵਿੱਚੋਂ 5 ਘਟਾਓ, ਤੁਹਾਨੂੰ 9 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

ਜਾਂ ਸੰਖਿਆ $x$, 9 ਤੋਂ 5 ਵੱਧ ਹੈ।

ਜਾਂ ਸੰਖਿਆ $x$, 9 ਤੋਂ 5 ਵੱਧ ਹੈ।

ਜਾਂ $x$ ਅਤੇ 5 ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ 9 ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ।

ਉਦਾਹਰਨ 3 ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸਥਿਤੀ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ:

ਰਾਜੂ ਦੇ ਪਿਤਾ ਦੀ ਉਮਰ, ਰਾਜੂ ਦੀ ਉਮਰ ਦੇ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ ਤੋਂ 5 ਸਾਲ ਵੱਧ ਹੈ। ਰਾਜੂ ਦੇ ਪਿਤਾ ਦੀ ਉਮਰ 44 ਸਾਲ ਹੈ। ਰਾਜੂ ਦੀ ਉਮਰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ।

ਹੱਲ

ਸਾਨੂੰ ਰਾਜੂ ਦੀ ਉਮਰ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਚਲੋ ਇਸਨੂੰ $y$ ਸਾਲ ਮੰਨ ਲਈਏ। ਰਾਜੂ ਦੀ ਉਮਰ ਦਾ ਤਿੰਨ ਗੁਣਾ $3 y$ ਸਾਲ ਹੈ। ਰਾਜੂ ਦੇ ਪਿਤਾ ਦੀ ਉਮਰ $3 y$ ਤੋਂ 5 ਸਾਲ ਵੱਧ ਹੈ; ਯਾਨੀ, ਰਾਜੂ ਦੇ ਪਿਤਾ ਦੀ ਉਮਰ $(3 y+5)$ ਸਾਲ ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਰਾਜੂ ਦੇ ਪਿਤਾ ਦੀ ਉਮਰ 44 ਸਾਲ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ,

$$ \begin{equation*} 3 y+5=44 \tag{4.3} \end{equation*} $$

ਇਹ $y$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਰਾਜੂ ਦੀ ਉਮਰ ਮਿਲੇਗੀ।

ਉਦਾਹਰਨ 4 ਇੱਕ ਦੁਕਾਨਦਾਰ ਅੰਬ ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਬਕਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੇਚਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਛੋਟਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਵੱਡਾ। ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਬਕਸੇ ਵਿੱਚ 8 ਛੋਟੇ ਬਕਸੇ ਅਤੇ 4 ਢਿੱਲੇ ਅੰਬ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ ਜੋ ਹਰੇਕ ਛੋਟੇ ਬਕਸੇ ਵਿੱਚ ਅੰਬਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਬਕਸੇ ਵਿੱਚ ਅੰਬਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ 100 ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।

ਹੱਲ

ਮੰਨ ਲਓ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਬਕਸੇ ਵਿੱਚ $m$ ਅੰਬ ਹਨ। ਇੱਕ ਵੱਡੇ ਬਕਸੇ ਵਿੱਚ $m$ ਦੇ 8 ਗੁਣਾ ਤੋਂ 4 ਵੱਧ, ਯਾਨੀ $8 m+4$ ਅੰਬ ਹਨ। ਪਰ ਇਹ 100 ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ

$$ \begin{equation*} 8 m+4=100 \tag{4.4} \end{equation*} $$

ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਬਕਸੇ ਵਿੱਚ ਅੰਬਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ।

ਕਸਰਤ 4.1

1. ਸਾਰਨੀ ਦੇ ਆਖਰੀ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਕਰੋ।

2. ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੋਠਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਮੁੱਲ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ:

(a) $n+5=19(n=1)$

(b) $7 n+5=19(n=-2)$

(c) $7 n+5=19(n=2)$

(d) $4 p-3=13(p=1)$

(e) $4 p-3=13(p=-4)$

(f) $4 p-3=13(p=0)$

3. ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਅਤੇ ਗਲਤੀ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ:

(i) $5 p+2=17$

(ii) $3 m-14=4$

4. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਕਥਨਾਂ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਲਿਖੋ:

(i) ਸੰਖਿਆਵਾਂ $x$ ਅਤੇ 4 ਦਾ ਜੋੜ 9 ਹੈ।

(ii) $y$ ਵਿੱਚੋਂ 2 ਘਟਾਉਣ ‘ਤੇ 8 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

(iii) $a$ ਦਾ ਦਸ ਗੁਣਾ 70 ਹੈ।

(iv) ਸੰਖਿਆ $b$ ਨੂੰ 5 ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ‘ਤੇ 6 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

(v) $t$ ਦਾ ਤਿੰਨ-ਚੌਥਾਈ 15 ਹੈ।

(vi) $m$ ਦੇ ਸੱਤ ਗੁਣਾ ਵਿੱਚ 7 ਜੋੜਨ ‘ਤੇ 77 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

(vii) ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ $x$ ਦੇ ਇੱਕ ਚੌਥਾਈ ਵਿੱਚੋਂ 4 ਘਟਾਉਣ ‘ਤੇ 4 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

(viii) ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ $y$ ਦੇ 6 ਗੁਣਾ ਵਿੱਚੋਂ 6 ਘਟਾਉਂਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ 60 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

(ix) ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ $z$ ਦੇ ਇੱਕ ਤਿਹਾਈ ਵਿੱਚ 3 ਜੋੜਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਹਾਨੂੰ 30 ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

5. ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਕਥਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ:

(i) $p+4=15$

(ii) $m-7=3$

(iii) $2 m=7$

(iv) $\frac{m}{5}=3$

(v) $\frac{3 m}{5}=6$

(vi) $3 p+4=25$

(vii) $4 p-2=18$

(viii) $\frac{p}{2}+2=8$

6. ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਸਥਾਪਿਤ ਕਰੋ:

(i) ਇਰਫਾਨ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਉਸ ਕੋਲ ਪਰਮੀਤ ਦੇ ਮਾਰਬਲਾਂ ਦੇ ਪੰਜ ਗੁਣਾ ਤੋਂ 7 ਮਾਰਬਲ ਵੱਧ ਹਨ। ਇਰਫਾਨ ਕੋਲ 37 ਮਾਰਬਲ ਹਨ। (ਪਰਮੀਤ ਦੇ ਮਾਰਬਲਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ $m$ ਮੰਨੋ।)

(ii) ਲਕਸ਼ਮੀ ਦੇ ਪਿਤਾ ਦੀ ਉਮਰ 49 ਸਾਲ ਹੈ। ਉਹ ਲਕਸ਼ਮੀ ਦੀ ਉਮਰ ਦੇ ਤਿੰਨ ਗ