4.1 ایک ذہن پڑھنے والا کھیل!

استاد نے کہا ہے کہ وہ ریاضی میں ایک نیا باب شروع کریں گی اور یہ سادہ مساواتوں پر ہوگا۔ اپّو، ساریتا اور امینہ نے چھٹی جماعت میں الجبرا کے باب میں جو کچھ سیکھا تھا اس کا جائزہ لے لیا ہے۔ کیا آپ نے لیا ہے؟ اپّو، ساریتا اور امینہ بہت پرجوش ہیں کیونکہ انہوں نے ایک کھیل بنایا ہے جسے وہ مائنڈ ریڈر کہتے ہیں اور وہ اسے پوری کلاس کے سامنے پیش کرنا چاہتے ہیں۔

استاد نے ان کے جوش کی تعریف کی اور انہیں اپنا کھیل پیش کرنے کی دعوت دی۔ امینہ شروع کرتی ہے؛ وہ سارہ سے کہتی ہے کہ ایک عدد سوچے، اسے 4 سے ضرب دے اور حاصل ضرب میں 5 جمع کرے۔ پھر، وہ سارہ سے نتیجہ بتانے کو کہتی ہے۔ سارہ کہتی ہے کہ یہ 65 ہے۔ امینہ فوراً اعلان کرتی ہے کہ سارہ نے جو عدد سوچا تھا وہ 15 ہے۔ سارہ سر ہلاتی ہے۔ سارہ سمیت پوری کلاس حیران ہے۔

اب اپّو کی باری ہے۔ وہ بالو سے کہتا ہے کہ ایک عدد سوچے، اسے 10 سے ضرب دے اور حاصل ضرب میں سے 20 منفی کرے۔ پھر وہ بالو سے پوچھتا ہے کہ اس کا نتیجہ کیا ہے؟ بالو کہتا ہے کہ 50 ہے۔ اپّو فوراً بالو کے سوچے ہوئے عدد کو بتا دیتا ہے۔ یہ 7 ہے، بالو اس کی تصدیق کرتا ہے۔

سب جاننا چاہتے ہیں کہ اپّو، ساریتا اور امینہ کا پیش کردہ ‘مائنڈ ریڈر’ کیسے کام کرتا ہے۔ کیا آپ دیکھ سکتے ہیں کہ یہ کیسے کام کرتا ہے؟ اس باب اور باب 12 کا مطالعہ کرنے کے بعد، آپ بخوبی جان جائیں گے کہ یہ کھیل کیسے کام کرتا ہے۔

4.2 ایک مساوات قائم کرنا

آئیے امینہ کی مثال لیتے ہیں۔ امینہ سارہ سے ایک عدد سوچنے کو کہتی ہے۔ امینہ عدد نہیں جانتی۔ اس کے لیے، یہ کوئی بھی چیز ہو سکتا ہے $1,2,3, \ldots, 11, \ldots, 100, \ldots$ آئیے اس نامعلوم عدد کو ایک حرف سے ظاہر کرتے ہیں، مثلاً $x$۔ آپ $y$ یا $t$ یا کوئی دوسرا حرف $x$ کی جگہ استعمال کر سکتے ہیں۔ اس سے فرق نہیں پڑتا کہ ہم سارہ کے سوچے ہوئے نامعلوم عدد کو ظاہر کرنے کے لیے کون سا حرف استعمال کرتے ہیں۔ جب سارہ عدد کو 4 سے ضرب دیتی ہے، تو اسے $4 x$ ملتا ہے۔ پھر وہ حاصل ضرب میں 5 جمع کرتی ہے، جس سے $4 x+5$ ملتا ہے۔ $(4 x+5)$ کی قیمت $x$ کی قیمت پر منحصر ہے۔ اس طرح اگر $x=1,4 x+5=4 \times 1+5=9$۔ اس کا مطلب ہے کہ اگر سارہ کے ذہن میں 1 ہوتا، تو اس کا نتیجہ 9 ہوتا۔ اسی طرح، اگر اس نے 5 سوچا ہوتا، تو پھر $x=5,4 x+5=4 \times 5+5=25$ کے لیے؛ اس طرح اگر سارہ نے 5 چنا ہوتا، تو نتیجہ 25 ہوتا۔

سارہ کے سوچے ہوئے عدد کو معلوم کرنے کے لیے، آئیے اس کے جواب 65 سے پیچھے کی طرف کام کرتے ہیں۔ ہمیں $x$ ایسا تلاش کرنا ہے کہ

$$ \begin{equation*} 4 x+5=65 \tag{4.1} \end{equation*} $$

مساوات کا حل ہمیں وہ عدد دے گا جو سارہ کے ذہن میں تھا۔

آئیے اسی طرح اپّو کی مثال دیکھتے ہیں۔ آئیے بالو کے چنے ہوئے عدد کو y کہتے ہیں۔ اپّو بالو سے کہتا ہے کہ عدد کو 10 سے ضرب دے اور حاصل ضرب میں سے 20 منفی کرے۔ یعنی، $y$ سے، بالو پہلے $10 y$ حاصل کرتا ہے اور وہاں سے $(10 y-20)$۔ نتیجہ معلوم ہے 50۔

لہٰذا،

$$ \begin{equation*} 10 y-20=50 \tag{4.2} \end{equation*} $$

اس مساوات کا حل ہمیں وہ عدد دے گا جو بالو نے سوچا تھا۔

4.3 ہم جو جانتے ہیں اس کا جائزہ

نوٹ کریں، (4.1) اور (4.2) مساواتیں ہیں۔ آئیے چھٹی جماعت میں مساواتوں کے بارے میں جو ہم نے سیکھا تھا اسے یاد کرتے ہیں۔ ایک مساوات متغیر پر ایک شرط ہوتی ہے۔ مساوات (4.1) میں، متغیر $x$ ہے؛ مساوات (4.2) میں، متغیر $y$ ہے۔

لفظ متغیر کا مطلب ہے کوئی چیز جو مختلف ہو سکتی ہے، یعنی بدل سکتی ہے۔ ایک متغیر مختلف عددی قیمتیں لیتا ہے؛ اس کی قیمت مقرر نہیں ہوتی۔ متغیروں کو عموماً حروف تہجی کے حروف سے ظاہر کیا جاتا ہے، جیسے $x, y, z, l, m, n, p$، وغیرہ۔ متغیروں سے، ہم اظہاریے بناتے ہیں۔ اظہاریے متغیروں پر جمع، تفریق، ضرب اور تقسیم جیسے عمل انجام دے کر بنائے جاتے ہیں۔ $x$ سے، ہم نے اظہار $(4 x+5)$ بنایا۔ اس کے لیے، پہلے ہم نے $x$ کو 4 سے ضرب دیا اور پھر حاصل ضرب میں 5 جمع کیا۔ اسی طرح، $y$ سے، ہم نے اظہار $(10 y-20)$ بنایا۔ اس کے لیے، ہم نے $y$ کو 10 سے ضرب دیا اور پھر حاصل ضرب میں سے 20 منفی کیا۔ یہ سب اظہاریوں کی مثالیں ہیں۔

اس طرح بنائے گئے اظہار کی قیمت متغیر کی منتخب کردہ قیمت پر منحصر ہوتی ہے۔ جیسا کہ ہم پہلے دیکھ چکے ہیں، جب $x=1,4 x+5=9$؛ جب $x=5,4 x+5=25$۔ اسی طرح، جب

$ \begin{aligned} & x=15,4 x+5=4 \times 15+5=65 \\ & x=0,4 x+5=4 \times 0+5=5 ; \text{ اور اسی طرح۔ } \end{aligned} $

جب

مساوات (4.1) متغیر $x$ پر ایک شرط ہے۔ یہ کہتی ہے کہ اظہار $(4 x+5)$ کی قیمت 65 ہے۔ یہ شرط اس وقت پوری ہوتی ہے جب $x=15$۔ یہ مساوات $4 x+5=65$ کا حل ہے۔ جب $x=5,4 x+5=25$ اور 65 نہیں۔ اس طرح $x=5$ مساوات کا حل نہیں ہے۔ اسی طرح، $x=0$ مساوات کا حل نہیں ہے۔ $x$ کی 15 کے علاوہ کوئی بھی قیمت شرط $4 x+5=65$ کو پورا نہیں کرتی۔

کوشش کریں

اظہار $(10 y-20)$ کی قیمت $y$ کی قیمت پر منحصر ہے۔ اس کی تصدیق $y$ کو پانچ مختلف قیمتیں دے کر کریں اور ہر $y$ کے لیے $(10 y-20)$ کی قیمت معلوم کریں۔ $(10 y-20)$ کی مختلف قیمتوں سے جو آپ حاصل کرتے ہیں، کیا آپ $10 y-20=50$ کا کوئی حل دیکھتے ہیں؟ اگر کوئی حل نہیں ہے، تو $y$ کو مزید قیمتیں دینے کی کوشش کریں اور معلوم کریں کہ آیا شرط $10 y-20=50$ پوری ہوتی ہے یا نہیں۔

4.4 مساوات کیا ہے؟

ایک مساوات میں ہمیشہ مساواتی علامت ہوتی ہے۔ مساواتی علامت ظاہر کرتی ہے کہ علامت کے بائیں طرف والے اظہار (بائیں ہاتھ کی طرف یا LHS) کی قیمت علامت کے دائیں طرف والے اظہار (دائیں ہاتھ کی طرف یا RHS) کی قیمت کے برابر ہے۔ مساوات (4.1) میں، LHS $(4 x+5)$ ہے اور RHS 65 ہے۔ مساوات (4.2) میں، LHS $(10 y-20)$ ہے اور RHS 50 ہے۔

اگر LHS اور RHS کے درمیان مساواتی علامت کے علاوہ کوئی اور علامت ہو، تو یہ مساوات نہیں ہے۔ اس طرح، $4 x+5>65$ مساوات نہیں ہے۔

یہ کہتی ہے کہ، $(4 x+5)$ کی قیمت 65 سے زیادہ ہے۔

اسی طرح، $4 x+5<65$ مساوات نہیں ہے۔ یہ کہتی ہے کہ $(4 x+5)$ کی قیمت 65 سے کم ہے۔

مساواتوں میں، ہم اکثر دیکھتے ہیں کہ RHS صرف ایک عدد ہوتا ہے۔ مساوات (4.1) میں، یہ 65 ہے اور مساوات (4.2) میں، یہ 50 ہے۔ لیکن یہ ہمیشہ ایسا نہیں ہوتا۔ ایک مساوات کا RHS متغیر پر مشتمل ایک اظہار بھی ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، مساوات

$ 4 x+5=6 x-25 $

کے بائیں طرف اظہار $(4 x+5)$ ہے اور مساواتی علامت کے دائیں طرف $(6 x-25)$ ہے۔

مختصراً، ایک مساوات متغیر پر ایک شرط ہے۔ شرط یہ ہے کہ دو اظہاریوں کی قیمت برابر ہونی چاہیے۔ نوٹ کریں کہ دو اظہاریوں میں سے کم از کم ایک میں متغیر ضرور ہونا چاہیے۔

ہم مساواتوں کی ایک سادہ اور مفید خاصیت بھی نوٹ کرتے ہیں۔ مساوات $4 x+5=65$، $65=4 x+5$ کے ہم معنی ہے۔ اسی طرح، مساوات $6 x-25=4 x+5$، $4 x+5=6 x-25$ کے ہم معنی ہے۔ ایک مساوات وہی رہتی ہے، جب بائیں اور دائیں طرف کے اظہار آپس میں بدل دیے جاتے ہیں۔ یہ خاصیت مساواتوں کو حل کرنے میں اکثر مفید ہوتی ہے۔

مثال 1 درج ذیل بیانات کو مساوات کی شکل میں لکھیں:

(i) تین گنا $x$ اور 11 کا مجموعہ 32 ہے۔

(ii) اگر آپ کسی عدد میں سے 5 منفی کریں، تو آپ کو 7 ملتا ہے۔

(iii) $m$ کا ایک چوتھائی، 7 سے 3 زیادہ ہے۔

(iv) ایک عدد کے ایک تہائی میں 5 جمع کرنے پر 8 ملتا ہے۔

حل

(i) تین گنا $x$، $3 x$ ہے۔

$3 x$ اور 11 کا مجموعہ $3 x+11$ ہے۔ مجموعہ 32 ہے۔

مساوات ہے $3 x+11=32$۔

(ii) فرض کریں عدد $z ; z$ ہے۔ 6 سے ضرب دینے پر $6 z$ ملتا ہے۔

$6 z$ میں سے 5 منفی کرنے پر، ایک کو $6 z-5$ ملتا ہے۔ نتیجہ 7 ہے۔

مساوات ہے $6 z-5=7$۔

(iii) $m$ کا ایک چوتھائی $\frac{m}{4}$ ہے۔

یہ 7 سے 3 زیادہ ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ فرق $(\frac{m}{4}-7)$، 3 ہے۔

مساوات ہے $\frac{m}{4}-7=3$۔

(iv) عدد کو $n$ مان لیں۔ $n$ کا ایک تہائی $\frac{n}{3}$ ہے۔

اس ایک تہائی میں 5 جمع کرنے پر $\frac{n}{3}+5$ ملتا ہے۔ یہ 8 ہے۔

مساوات ہے $\frac{n}{3}+5=8$۔

مثال 2 درج ذیل مساواتوں کو بیان کی شکل میں تبدیل کریں:

(i) $x-5=9$

(ii) $5 p=20$

(iii) $3 n+7=1$

(iv) $\frac{m}{5}-2=6$

حل

(i) $x$ میں سے 5 نکالنے پر 9 ملتا ہے۔

(ii) ایک عدد $p$ کا پانچ گنا 20 ہے۔

(iii) تین گنا $n$ میں 7 جمع کرنے پر 1 ملتا ہے۔

(iv) آپ کو 6 ملتا ہے، جب آپ کسی عدد $m$ کے ایک پانچویں حصے میں سے 2 منفی کرتے ہیں۔

اہم بات یہ نوٹ کرنا ہے کہ کسی دی گئی مساوات کے لیے صرف ایک نہیں، بلکہ کئی بیان کی شکلیں دی جا سکتی ہیں۔ مثال کے طور پر، اوپر دی گئی مساوات (i) کے لیے، آپ کہہ سکتے ہیں:

کوشش کریں

ہر مساوات (ii)، (iii) اور (iv) کے لیے کم از کم ایک اور شکل لکھیں۔

$x$ میں سے 5 منفی کریں، آپ کو 9 ملتا ہے۔

یا عدد $x$، 9 سے 5 زیادہ ہے۔

یا عدد $x$، 9 سے 5 بڑا ہے۔

یا $x$ اور 5 کے درمیان فرق 9 ہے، اور اسی طرح۔

مثال 3 درج ذیل صورت حال پر غور کریں:

راجو کے والد کی عمر راجو کی عمر کے تین گنا سے 5 سال زیادہ ہے۔ راجو کے والد 44 سال کے ہیں۔ راجو کی عمر معلوم کرنے کے لیے ایک مساوات قائم کریں۔

حل

ہم راجو کی عمر نہیں جانتے۔ آئیے اسے $y$ سال مانتے ہیں۔ راجو کی عمر کا تین گنا $3 y$ سال ہے۔ راجو کے والد کی عمر $3 y$ سے 5 سال زیادہ ہے؛ یعنی، راجو کے والد $(3 y+5)$ سال کے ہیں۔ یہ بھی دیا گیا ہے کہ راجو کے والد 44 سال کے ہیں۔

لہٰذا،

$$ \begin{equation*} 3 y+5=44 \tag{4.3} \end{equation*} $$

یہ $y$ میں ایک مساوات ہے۔ حل کرنے پر یہ راجو کی عمر دے گی۔

مثال 4 ایک دکاندار آم دو قسم کے خانوں میں فروخت کرتا ہے، ایک چھوٹا اور ایک بڑا۔ ایک بڑے خانے میں 8 چھوٹے خانوں کے علاوہ 4 ڈھیلے آم ہوتے ہیں۔ ایک مساوات قائم کریں جو ہر چھوٹے خانے میں آم کی تعداد دیتی ہے۔ ایک بڑے خانے میں آم کی تعداد 100 دی گئی ہے۔

حل

فرض کریں ایک چھوٹے خانے میں $m$ آم ہیں۔ ایک بڑے خانے میں 8 گنا $m$ سے 4 زیادہ ہوتے ہیں، یعنی، $8 m+4$ آم۔ لیکن یہ 100 دیا گیا ہے۔ اس طرح

$$ \begin{equation*} 8 m+4=100 \tag{4.4} \end{equation*} $$

اس مساوات کو حل کر کے آپ ایک چھوٹے خانے میں آم کی تعداد معلوم کر سکتے ہیں۔

مشق 4.1

1. جدول کے آخری کالم کو مکمل کریں۔

2. چیک کریں کہ آیا قوسین میں دی گئی قیمت دی گئی مساوات کا حل ہے یا نہیں:

(a) $n+5=19(n=1)$

(b) $7 n+5=19(n=-2)$

(c) $7 n+5=19(n=2)$

(d) $4 p-3=13(p=1)$

(e) $4 p-3=13(p=-4)$

(f) $4 p-3=13(p=0)$

3. آزمائش اور غلطی کے طریقے سے درج ذیل مساواتوں کو حل کریں:

(i) $5 p+2=17$

(ii) $3 m-14=4$

4. درج ذیل بیانات کے لیے مساوات لکھیں:

(i) اعداد $x$ اور 4 کا مجموعہ 9 ہے۔

(ii) $y$ میں سے 2 منفی کرنے پر 8 ملتا ہے۔

(iii) دس گنا $a$ 70 ہے۔

(iv) عدد $b$ کو 5 سے تقسیم کرنے پر 6 ملتا ہے۔

(v) $t$ کا تین چوتھائی 15 ہے۔

(vi) سات گنا $m$ جمع 7 آپ کو 77 دیتا ہے۔

(vii) ایک عدد $x$ کے ایک چوتھائی میں سے 4 منفی کرنے پر 4 ملتا ہے۔

(viii) اگر آپ 6 گنا $y$ میں سے 6 نکال دیں، تو آپ کو 60 ملتا ہے۔

(ix) اگر آپ $z$ کے ایک تہائی میں 3 جمع کریں، تو آپ کو 30 ملتا ہے۔

5. درج ذیل مساواتوں کو بیان کی شکل میں لکھیں:

(i) $p+4=15$

(ii) $m-7=3$

(iii) $2 m=7$

(iv) $\frac{m}{5}=3$

(v) $\frac{3 m}{5}=6$

(vi) $3 p+4=25$

(vii) $4 p-2=18$

(viii) $\frac{p}{2}+2=8$

6. درج ذیل صورتوں میں ایک مساوات قائم کریں:

(i) عرفان کہتا ہے کہ اس کے پاس پرْمیت کے پاس موجود گولیوں کے پانچ گنا سے 7 گولیاں زیادہ ہیں۔ عرفان کے پاس 37 گولیاں ہیں۔ (پرْمیت کی گولیوں کی تعداد $m$ مان لیں۔)

(ii) لکشمی کے والد 49 سال کے ہیں۔ وہ لکشمی کی عمر کے تین گنا سے 4 سال بڑے ہیں۔ (لکشمی کی عمر $y$ سال مان لیں۔)

(iii) استاد کلاس سے کہتی ہیں کہ ان کی کلاس میں ایک طالب علم کے حاصل کردہ سب سے زیادہ نمبر، سب سے کم نمبر کے دوگنا سے 7 زیادہ ہیں۔ سب سے زیادہ اسکور 87 ہے۔ (سب سے کم اسکور $l$ مان لیں۔)

(iv) ایک متساوی الساقین مثلث میں، راس زاویہ کسی بھی بنیادی زاویے کا دوگنا ہوتا ہے۔ (بنیادی زاویہ $b$ ڈگری میں مان لیں۔ یاد رکھیں کہ مثلث کے زاویوں کا مجموعہ 180 ڈگری ہوتا ہے)۔

4.4.1 ایک مساوات کو حل کرنا

ایک مساوات پر غور کریں $\quad 8-3=4+1$

مساوات (4.5) قائم ہے، کیونکہ اس کے دونوں اطراف برابر ہیں (ہر ایک 5 کے برابر ہے)۔

• آئیے اب دونوں اطراف میں 2 جمع کریں؛ نتیجے کے طور پر

LHS $=8-3+2=5+2=7 \quad$ RHS $=4+1+2=5+2=7$۔

پھر سے مساوات قائم ہے (یعنی، اس کا LHS اور RHS برابر ہیں)۔

اس طرح اگر ہم کسی مساوات کے دونوں اطراف میں ایک ہی عدد جمع کریں، تو یہ پھر بھی قائم رہتی ہے۔

• آئیے اب دونوں اطراف میں سے 2 منفی کریں؛ نتیجے کے طور پر،

LHS $=8-3-2=5-2=3$

RHS $=4+1-2=5-2=3$۔

پھر سے، مساوات قائم ہے۔

اس طرح اگر ہم کسی مساوات کے دونوں اطراف میں سے ایک ہی عدد منفی کریں، تو یہ پھر بھی قائم رہتی ہے۔

• اسی طرح، اگر ہم مساوات کے دونوں اطراف کو ایک ہی غیر صفر عدد سے ضرب یا تقسیم کریں، تو یہ پھر بھی قائم رہتی ہے۔

مثال کے طور پر، آئیے مساوات کے دونوں اطراف کو 3 سے ضرب دیں، ہمیں ملتا ہے

LHS $=3 \times(8-3)=3 \times 5=15, \quad$ RHS $=3 \times(4+1)=3 \times 5=15$۔

مساوات قائم ہے۔

آئیے اب مساوات کے دونوں اطراف کو 2 سے تقسیم کریں۔

LHS $=(8-3) \div 2=5 \div 2=\frac{5}{2}$

RHS $=(4+1) \div 2=5 \div 2=\frac{5}{2}=$ LHS

پھر سے، مساوات قائم ہے۔

اگر ہم کوئی اور مساوات لیں، تو ہمیں یہی نتائج ملیں گے۔

فرض کریں، ہم یہ قواعد نہیں مانتے۔ خاص طور پر، فرض کریں ہم ایک مساوات کے دونوں اطراف میں مختلف اعداد جمع کرتے ہیں۔ ہم اس صورت میں پائیں گے کہ مساوات قائم نہیں رہتی (یعنی، اس کے دونوں اطراف برابر نہیں رہتے)۔ مثال کے طور پر، آئیے پھر مساوات (4.5) لیں،

$ 8-3=4+1 $

LHS میں 2 اور RHS میں 3 جمع کریں۔ نیا LHS $8-3+2=5+2=7$ ہے اور نیا RHS $4+1+3=5+3=8$ ہے۔ مساوات قائم نہیں رہتی، کیونکہ نیا LHS اور RHS برابر نہیں ہیں۔

اس طرح اگر ہم کسی مساوات کے دونوں اطراف پر ایک ہی عدد کے ساتھ ایک ہی ریاضیاتی عمل نہیں کرتے، تو مساوات قائم نہیں رہ سکتی۔

وہ مساوات جس میں متغیر شامل ہوں، ایک مساوات ہوتی ہے۔

یہ نتائج مساواتوں کے لیے بھی درست ہیں، کیونکہ ہر مساوات میں متغیر صرف ایک عدد کی نمائندگی کرتا ہے۔

اکثر کہا جاتا ہے کہ ایک مساوات ایک ترازو کی طرح ہوتی ہے۔ ایک مساوات پر ریاضیاتی عمل کرنا، ترازو کے پلڑوں میں وزن ڈالنے یا وزن نکالنے کی طرح ہے۔

ایک مساوات ایک ایسے ترازو کی طرح ہے جس کے دونوں پلڑوں پر برابر وزن ہوں، اس صورت میں ترازو کا بازو بالکل افقی ہوتا ہے۔ اگر ہم دونوں پلڑوں میں ایک ہی وزن ڈالیں، تو بازو افقی رہتا ہے۔ اسی طرح، اگر ہم دونوں پلڑوں سے ایک ہی وزن نکال دیں، تو بازو افقی رہتا ہے۔ دوسری طرف اگر ہم پلڑوں میں مختلف وزن ڈالیں یا ان سے مختلف وزن نکالیں، تو ترازو جھک جاتی ہے؛ یعنی، ترازو کا بازو افقی نہیں رہتا۔

ہم ایک مساوات کو حل کرنے کے لیے اس اصول کا استعمال کرتے ہیں۔ یہاں، بلاشبہ،

ترازو خیالی ہے اور اعداد کو وزن کے طور پر استعمال کیا جا سکتا ہے جو جسمانی طور پر ایک دوسرے کے مقابلے میں متوازن ہو سکتے ہیں۔ یہی اس اصول کو پیش کرنے کا اصل مقصد ہے۔ آئیے کچھ مثالیں لیتے ہیں۔

• مساوات پر غور کریں: $x+3=8$

ہم اس مساوات کے دونوں اطراف میں سے 3 منفی کریں گے۔

نیا LHS ہے $\quad x+3-3=x$ اور نیا RHS ہے $8-3=5$

چونکہ یہ توازن کو خراب نہیں کرتا، ہمارے پاس ہے

$$ \text{ New LHS = New RHS } $$

ہم 3 ہی کیوں منفی کریں، اور کوئی دوسرا عدد نہیں؟ 3 جمع کرنے کی کوشش کریں۔ کیا یہ مدد کرے گا؟ کیوں نہیں؟ یہ اس لیے ہے کہ 3 منفی کرنے سے LHS کم ہو کر $x$ رہ جاتا ہے۔

یا

$ x=5 $

جو بالکل وہی ہے جو ہم چاہتے ہیں، مساوات (4.6) کا حل۔

اس بات کی تصدیق کے لیے کہ آیا ہم صحیح ہیں، ہم اصل مساوات میں $x=5$ رکھیں گے۔ ہمیں LHS ملتا ہے $=x+3=5+3=8$، جو مطلوبہ طور پر RHS کے برابر ہے۔

مساوات کے دونوں اطراف پر صحیح ریاضیاتی عمل (یعنی، 3 منفی کرنا) کر کے، ہم مساوات کے حل پر پہنچے۔

• آئیے ایک اور مساوات دیکھتے ہیں

$$ \begin{equation*} x-3=10 \tag{4.7} \end{equation*} $$

ہمیں یہاں کیا کرنا چاہیے؟ ہمیں دونوں اطراف میں 3 جمع کرنا چاہیے، ایسا کرنے سے، ہم توازن برقرار رکھیں گے اور نیز LHS صرف $x$ تک کم ہو جائے گا۔

نیا LHS $=x-3+3=x$، نیا RHS $=10+3=13$

لہٰذا، $x=13$، جو مطلوبہ حل ہے۔

اصل مساوات (4.7) میں $x=13$ رکھ کر ہم تصدیق کرتے ہیں کہ حل صحیح ہے:

اصل مساوات کا LHS $=x-3=13-3=10$

یہ مطلوبہ طور پر RHS کے برابر ہے۔

اسی طرح، آئیے مساواتوں پر غور کریں

$$ \begin{align*} & 5 y=35 \tag{4.8}\\ & \frac{m}{2}=5 \tag{4.9} \end{align*} $$

پہلی صورت میں، ہم دونوں اطراف کو 5 سے تقسیم کریں گے۔ یہ ہمیں LHS پر صرف $y$ دے گا۔

$ \text{ نیا LHS }=\frac{5 y}{5}=\frac{5 \times y}{5}=y, \quad \text{ نیا RHS }=\frac{35}{5}=\frac{5 \times 7}{5}=7 $

لہٰذا،

$ y=7 $

یہ مطلوبہ حل ہے۔ ہم Eq. (4.8) میں $y=7$ کو متبادل کے طور پر رکھ سکتے ہیں اور چیک کر سکتے ہیں کہ یہ پوری ہوتی ہے۔

دوسری صورت میں، ہم دونوں اطراف کو 2 سے ضرب دیں گے۔ یہ ہمیں LHS پر صرف $m$ دے گا۔

نیا LHS $=\frac{m}{2} \times 2=m$۔ نیا RHS $=5 \times 2=10$۔

لہٰذا، $m=10$ (یہ مطلوبہ حل ہے۔ آپ چیک کر سکتے ہیں کہ آیا حل صحیح ہے)۔

ایک دیکھ سکتا ہے کہ اوپر کی مثالوں میں، ہمیں جو عمل انجام دینے کی ضرورت ہے وہ مساوات پر منحصر ہے۔ ہماری کوشش یہ ہونی چاہیے کہ مساوات میں متغیر کو الگ کر لیں۔ کبھی کبھی، ایسا کرنے کے لیے ہمیں ایک سے زیادہ ریاضیاتی عمل انجام دینے پڑ سکتے ہیں۔ آئیے اس بات کو ذہن میں رکھتے ہوئے کچھ اور مساواتوں کو حل کریں۔

مثال 5 حل کریں: (a) $3 n+7=25$

(b) $2 p-1=23$

حل

(a) ہم مرحلہ وار مساوات کے LHS پر متغیر $n$ کو الگ کرنے کے لیے جاتے ہیں۔ LHS $3 n+7$ ہے۔ ہم پہلے اس میں سے 7 منفی کریں گے تاکہ ہمیں $3 n$ ملے۔ اس سے، اگلے مرحلے میں ہم 3 سے تقسیم کریں گے تاکہ $n$ ملے۔ یاد رکھیں ہمیں مساوات کے دونوں اطراف پر ایک ہی عمل کرنا چاہیے۔ لہٰذا، دونوں اطراف میں سے 7 منفی کرنے پر،

$$ \begin{align*} 3 n+7-7 & =25-7 \tag{Step1}\\ 3 n & =18 \end{align*} $$

اب دونوں اطراف کو 3 سے تقسیم کریں،

$$ \begin{equation*} \frac{3 n}{3}=\frac{18}{3} \tag{Step2} \end{equation*} $$

یا $\quad n=6$، جو حل ہے۔

(b) ہمیں یہاں کیا کرنا چاہیے؟ پہلے ہم دونوں اطراف میں 1 جمع کریں گے:

$$ \begin{align*} 2 p-1+1 & =23+1 \tag{Step1}\\ 2 p & =24 \end{align*} $$

یا

اب دونوں اطراف کو 2 سے تقسیم کریں، ہمیں ملتا ہے $\frac{2 p}{2}=\frac{24}{2}$

یا

$$ \begin{equation*} p=12 \text{, which is the solution. } \tag{Step2} \end{equation*} $$

ایک اچھی عادت جو آپ کو ڈالنی چاہیے وہ یہ ہے کہ جو حل آپ نے حاصل کیا ہے اس کی جانچ کریں۔ اگرچہ ہم نے (a) کے لیے یہ نہیں کیا، آئیے اس مثال کے لیے کرتے ہیں۔

آئیے حل $p=12$ کو مساوات میں واپس رکھیں۔

$ \begin{aligned} \text{ LHS } & =2 p-1=2 \times 12-1=24-1 \\ & =23=\text{ RHS } \end{aligned} $

اس طرح حل کی صحت کی جانچ کی گئی ہے۔

آپ (a) کے حل کی جانچ کیوں نہیں کرتے؟

اب ہم اس قابل ہیں کہ اپّو، ساریتا اور امینہ کے پیش کردہ مائنڈ ریڈنگ گیم پر واپس جائیں اور سمجھیں کہ انہوں نے اپنے جوابات کیسے حاصل کیے۔ اس مقصد کے لیے، آئیے مساوات (4.1) اور (4.2) پر غور کریں جو بالترتیب امینہ اور اپّو کی