೪.೧ ಮನಸ್ಸು ಓದುವ ಆಟ!

ಉಪಾಧ್ಯಾಯಿನಿಯವರು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಅಧ್ಯಾಯವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವುದಾಗಿ ಹೇಳಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅದು ಸರಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಪ್ಪು, ಸರಿತಾ ಮತ್ತು ಅಮೀನಾ ಅವರು VIನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಬೀಜಗಣಿತ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ ಕಲಿತದ್ದನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದ್ದಾರೆ. ನೀವು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದ್ದೀರಾ? ಅಪ್ಪು, ಸರಿತಾ ಮತ್ತು ಅಮೀನಾ ಅವರು ಉತ್ಸಾಹಭರಿತರಾಗಿದ್ದಾರೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅವರು ಮನಸ್ಸು ಓದುವವರು ಎಂದು ಕರೆಯುವ ಒಂದು ಆಟವನ್ನು ರಚಿಸಿದ್ದಾರೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಇಡೀ ತರಗತಿಗೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ.

ಉಪಾಧ್ಯಾಯಿನಿಯವರು ಅವರ ಉತ್ಸಾಹವನ್ನು ಮೆಚ್ಚುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅವರ ಆಟವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ಆಹ್ವಾನಿಸುತ್ತಾರೆ. ಅಮೀನಾ ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾಳೆ; ಅವಳು ಸಾರಾಳನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯೋಚಿಸಲು, ಅದನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ 5 ಅನ್ನು ಕೂಡಿಸಲು ಕೇಳುತ್ತಾಳೆ. ನಂತರ, ಅವಳು ಸಾರಾಳನ್ನು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಹೇಳಲು ಕೇಳುತ್ತಾಳೆ. ಸಾರಾ ಅದು 65 ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾಳೆ. ಅಮೀನಾ ತಕ್ಷಣವೇ ಸಾರಾ ಯೋಚಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆ 15 ಎಂದು ಘೋಷಿಸುತ್ತಾಳೆ. ಸಾರಾ ಸಮ್ಮತಿಸುತ್ತಾಳೆ. ಸಾರಾ ಸೇರಿದಂತೆ ಇಡೀ ತರಗತಿ ಆಶ್ಚರ್ಯಚಕಿತರಾಗುತ್ತಾರೆ.

ಈಗ ಅಪ್ಪುವಿನ ಸರದಿ. ಅವನು ಬಾಲುವನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯೋಚಿಸಲು, ಅದನ್ನು 10 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ 20 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಕೇಳುತ್ತಾನೆ. ನಂತರ ಅವನು ಬಾಲುವಿನಿಂದ ಅವನ ಫಲಿತಾಂಶ ಏನು ಎಂದು ಕೇಳುತ್ತಾನೆ? ಬಾಲು ಅದು 50 ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾನೆ. ಅಪ್ಪು ತಕ್ಷಣವೇ ಬಾಲು ಯೋಚಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಾನೆ. ಅದು 7, ಬಾಲು ಅದನ್ನು ದೃಢೀಕರಿಸುತ್ತಾನೆ.

ಅಪ್ಪು, ಸರಿತಾ ಮತ್ತು ಅಮೀನಾ ಅವರು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ‘ಮನಸ್ಸು ಓದುವವರು’ ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಎಲ್ಲರೂ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತಾರೆ. ಅದು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಲ್ಲಿರಾ? ಈ ಅಧ್ಯಾಯ ಮತ್ತು ಅಧ್ಯಾಯ 12 ಅನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಆಟವು ಹೇಗೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಚೆನ್ನಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವಿರಿ.

೪.೨ ಸಮೀಕರಣದ ರಚನೆ

ನಾವು ಅಮೀನಾದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅಮೀನಾ ಸಾರಾಳನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಯೋಚಿಸಲು ಕೇಳುತ್ತಾಳೆ. ಅಮೀನಾಗೆ ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಅವಳಿಗೆ, ಅದು ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು $1,2,3, \ldots, 11, \ldots, 100, \ldots$ ಈ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ $x$. ನೀವು $y$ ಅಥವಾ $t$ ಅಥವಾ ಇನ್ನಾವುದೇ ಅಕ್ಷರವನ್ನು $x$ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಸಾರಾ ಯೋಚಿಸಿದ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ನಾವು ಯಾವ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಸಾರಾ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅವಳು $4 x$ ಪಡೆಯುತ್ತಾಳೆ. ನಂತರ ಅವಳು ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ 5 ಅನ್ನು ಕೂಡಿಸುತ್ತಾಳೆ, ಇದು $4 x+5$ ನೀಡುತ್ತದೆ. $(4 x+5)$ ನ ಮೌಲ್ಯವು $x$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ $x=1,4 x+5=4 \times 1+5=9$. ಇದರ ಅರ್ಥ ಸಾರಾ ತನ್ನ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ 1 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅವಳ ಫಲಿತಾಂಶ 9 ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, ಅವಳು 5 ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿದ್ದರೆ, ನಂತರ $x=5,4 x+5=4 \times 5+5=25$; ಹೀಗಾಗಿ ಸಾರಾ 5 ಅನ್ನು ಆರಿಸಿದ್ದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶ 25 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಾರಾ ಯೋಚಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಅವಳ ಉತ್ತರ 65 ರಿಂದ ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡೋಣ. ನಾವು $x$ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು

$$ \begin{equation*} 4 x+5=65 \tag{4.1} \end{equation*} $$

ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ನಮಗೆ ಸಾರಾ ತನ್ನ ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಹೊಂದಿದ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಅಪ್ಪುವಿನ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಬಾಲು ಆರಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು y ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಅಪ್ಪು ಬಾಲುವನ್ನು ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 10 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲು ಮತ್ತು ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ 20 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಲು ಕೇಳುತ್ತಾನೆ. ಅಂದರೆ, $y$ ನಿಂದ, ಬಾಲು ಮೊದಲು $10 y$ ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿಂದ $(10 y-20)$ ಪಡೆಯುತ್ತಾನೆ. ಫಲಿತಾಂಶ 50 ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ,

$$ \begin{equation*} 10 y-20=50 \tag{4.2} \end{equation*} $$

ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರವು ನಮಗೆ ಬಾಲು ಯೋಚಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

೪.೩ ನಾವು ಏನು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದರ ಪರಿಶೀಲನೆ

ಗಮನಿಸಿ, (4.1) ಮತ್ತು (4.2) ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿವೆ. VIನೇ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಷರತ್ತು. ಸಮೀಕರಣ (4.1) ನಲ್ಲಿ, ಚರಾಕ್ಷರವು $x$; ಸಮೀಕರಣ (4.2) ನಲ್ಲಿ, ಚರಾಕ್ಷರವು $y$.

ಚರಾಕ್ಷರ (variable) ಎಂಬ ಪದವು ಬದಲಾಗಬಲ್ಲದು, ಅಂದರೆ, ಮಾರ್ಪಡಿಸಬಲ್ಲದು ಎಂದರ್ಥ. ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರವು ವಿವಿಧ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ; ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಚರಾಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವರ್ಣಮಾಲೆಯ ಅಕ್ಷರಗಳಾದ $x, y, z, l, m, n, p$, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿಂದ, ನಾವು ವ್ಯಂಜನಗಳನ್ನು (expressions) ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ವ್ಯಂಜನಗಳನ್ನು ಚರಾಕ್ಷರಗಳ ಮೇಲೆ ಸಂಕಲನ, ವ್ಯವಕಲನ, ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ಭಾಗಾಕಾರದಂತಹ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವ ಮೂಲಕ ರಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. $x$ ನಿಂದ, ನಾವು $(4 x+5)$ ವ್ಯಂಜನವನ್ನು ರಚಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ಮೊದಲು ನಾವು $x$ ಅನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಗುಣಲಬ್ಧಕ್ಕೆ 5 ಅನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, $y$ ನಿಂದ, ನಾವು $(10 y-20)$ ವ್ಯಂಜನವನ್ನು ರಚಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು $y$ ಅನ್ನು 10 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಗುಣಲಬ್ಧದಿಂದ 20 ಅನ್ನು ಕಳೆದಿದ್ದೇವೆ. ಇವೆಲ್ಲವೂ ವ್ಯಂಜನಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ.

ಈ ರೀತಿ ರಚಿಸಲಾದ ವ್ಯಂಜನದ ಮೌಲ್ಯವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಚರಾಕ್ಷರದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡಿದಂತೆ, ಯಾವಾಗ $x=1,4 x+5=9$; ಯಾವಾಗ $x=5,4 x+5=25$. ಅದೇ ರೀತಿ, ಯಾವಾಗ

$ \begin{aligned} & x=15,4 x+5=4 \times 15+5=65 \\ & x=0,4 x+5=4 \times 0+5=5 ; \text{ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. } \end{aligned} $

ಯಾವಾಗ

ಸಮೀಕರಣ (4.1) ಚರಾಕ್ಷರ $x$ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಷರತ್ತು. ಇದು $(4 x+5)$ ವ್ಯಂಜನದ ಮೌಲ್ಯವು 65 ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ. ಷರತ್ತು ಯಾವಾಗ $x=15$ ಆಗ ಸಂತೃಪ್ತಿಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದು $4 x+5=65$ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಯಾವಾಗ $x=5,4 x+5=25$ ಮತ್ತು 65 ಅಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ $x=5$ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ. ಅದೇ ರೀತಿ, $x=0$ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಲ್ಲ. 15 ಅನ್ನು ಬಿಟ್ಟು $x$ ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವು $4 x+5=65$ ಷರತ್ತನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಇವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

$(10 y-20)$ ವ್ಯಂಜನದ ಮೌಲ್ಯವು $y$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. $y$ ಗೆ ಐದು ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡುವ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ $y$ ಗೆ $(10 y-20)$ ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ. ನೀವು ಪಡೆಯುವ $(10 y-20)$ ನ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ, ನೀವು $10 y-20=50$ ಗೆ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ನೋಡುತ್ತೀರಾ? ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, $y$ ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಮತ್ತು $10 y-20=50$ ಷರತ್ತು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

೪.೪ ಸಮೀಕರಣ ಎಂದರೇನು?

ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆ ಇರುತ್ತದೆ. ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ಚಿಹ್ನೆಯ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯಂಜನದ ಮೌಲ್ಯ (ಎಡಗೈ ಬದಿ ಅಥವಾ LHS) ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯಂಜನದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ (ಬಲಗೈ ಬದಿ ಅಥವಾ RHS) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣ (4.1) ನಲ್ಲಿ, LHS $(4 x+5)$ ಮತ್ತು RHS 65. ಸಮೀಕರಣ (4.2) ನಲ್ಲಿ, LHS $(10 y-20)$ ಮತ್ತು RHS 50.

LHS ಮತ್ತು RHS ನಡುವೆ ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಚಿಹ್ನೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದು ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, $4 x+5>65$ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ.

ಇದು $(4 x+5)$ ನ ಮೌಲ್ಯವು 65 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಅದೇ ರೀತಿ, $4 x+5<65$ ಸಮೀಕರಣವಲ್ಲ. ಇದು $(4 x+5)$ ನ ಮೌಲ್ಯವು 65 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, RHS ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದನ್ನು ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತೇವೆ. ಸಮೀಕರಣ (4.1) ನಲ್ಲಿ, ಅದು 65 ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣ (4.2) ನಲ್ಲಿ, ಅದು 50. ಆದರೆ ಇದು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೀಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಸಮೀಕರಣದ RHS ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯಂಜನವಾಗಿರಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮೀಕರಣ

$ 4 x+5=6 x-25 $

ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ $(4 x+5)$ ವ್ಯಂಜನವನ್ನು ಮತ್ತು ಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ $(6 x-25)$ ವ್ಯಂಜನವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದು ಚರಾಕ್ಷರದ ಮೇಲಿನ ಒಂದು ಷರತ್ತು. ಆ ಷರತ್ತು ಎಂದರೆ ಎರಡು ವ್ಯಂಜನಗಳು ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಕನಿಷ್ಠಪಕ್ಷ ಒಂದು ವ್ಯಂಜನವು ಚರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಒಂದು ಸರಳ ಮತ್ತು ಉಪಯುಕ್ತ ಗುಣವನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಮೀಕರಣ $4 x+5=65$ ಯು $65=4 x+5$ ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಅದೇ ರೀತಿ, ಸಮೀಕರಣ $6 x-25=4 x+5$ ಯು $4 x+5=6 x-25$ ನಂತೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ವ್ಯಂಜನಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಿದಾಗ, ಸಮೀಕರಣವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಈ ಗುಣವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1 ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ:

(i) ಮೂರು ಪಟ್ಟು $x$ ಮತ್ತು 11 ರ ಮೊತ್ತ 32.

(ii) ನೀವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಆರು ಪಟ್ಟಿನಿಂದ 5 ಅನ್ನು ಕಳೆದರೆ, ನೀವು 7 ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

(iii) $m$ ನ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಭಾಗವು 7 ಕ್ಕಿಂತ 3 ಹೆಚ್ಚು.

(iv) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗ ಮತ್ತು 5 ರ ಮೊತ್ತ 8.

ಪರಿಹಾರ

(i) ಮೂರು ಪಟ್ಟು $x$ ಎಂದರೆ $3 x$.

$3 x$ ಮತ್ತು 11 ರ ಮೊತ್ತ $3 x+11$. ಮೊತ್ತ 32.

ಸಮೀಕರಣವು $3 x+11=32$.

(ii) ಸಂಖ್ಯೆಯು $z ; z$ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, 6 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ $6 z$.

$6 z$ ನಿಂದ 5 ಅನ್ನು ಕಳೆದಾಗ, ಒಬ್ಬರು $6 z-5$ ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ. ಫಲಿತಾಂಶ 7.

ಸಮೀಕರಣವು $6 z-5=7$ (iii) $m$ ನ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಭಾಗವು $\frac{m}{4}$.

ಇದು 7 ಕ್ಕಿಂತ 3 ರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ $(\frac{m}{4}-7)$ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು 3.

ಸಮೀಕರಣವು $\frac{m}{4}-7=3$.

(iv) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು $n$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. $n$ ನ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗವು $\frac{n}{3}$.

ಈ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗ ಮತ್ತು 5 ರ ಮೊತ್ತ $\frac{n}{3}+5$. ಅದು 8.

ಸಮೀಕರಣವು $\frac{n}{3}+5=8$.

ಉದಾಹರಣೆ 2 ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಳಿಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತಿಸಿ:

(i) $x-5=9$

(ii) $5 p=20$

(iii) $3 n+7=1$

(iv) $\frac{m}{5}-2=6$

ಪರಿಹಾರ

(i) $x$ ನಿಂದ 5 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ 9 ಸಿಗುತ್ತದೆ.

(ii) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಐದು ಪಟ್ಟು $p$ 20.

(iii) $n$ ನ ಮೂರು ಪಟ್ಟಿಗೆ 7 ಅನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ 1 ಸಿಗುತ್ತದೆ.

(iv) ನೀವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಐದನೇ ಒಂದು ಭಾಗ $m$ ನಿಂದ 2 ಅನ್ನು ಕಳೆದಾಗ, ನೀವು 6 ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅನೇಕ ಹೇಳಿಕೆ ರೂಪಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣ (i) ಗಾಗಿ, ನೀವು ಹೀಗೆ ಹೇಳಬಹುದು:

ಇವನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣ (ii), (iii) ಮತ್ತು (iv) ಗಾಗಿ ಕನಿಷ್ಠಪಕ್ಷ ಒಂದು ಇತರ ರೂಪವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

$x$ ನಿಂದ 5 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, ನೀವು 9 ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆ $x$ 5 ರಿಂದ 9 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು.

ಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆ $x$ 9 ಕ್ಕಿಂತ 5 ರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದೆ.

ಅಥವಾ $x$ ಮತ್ತು 5 ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ 9, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3 ಕೆಳಗಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ರಾಜುವಿನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು ರಾಜುವಿನ ವಯಸ್ಸಿನ ಮೂರು ಪಟ್ಟಿಗಿಂತ 5 ವರ್ಷಗಳು ಹೆಚ್ಚು. ರಾಜುವಿನ ತಂದೆಗೆ 44 ವರ್ಷ. ರಾಜುವಿನ ವಯಸ್ಸನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ನಮಗೆ ರಾಜುವಿನ ವಯಸ್ಸು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಅದನ್ನು $y$ ವರ್ಷಗಳು ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ರಾಜುವಿನ ವಯಸ್ಸಿನ ಮೂರು ಪಟ್ಟು $3 y$ ವರ್ಷಗಳು. ರಾಜುವಿನ ತಂದೆಯ ವಯಸ್ಸು $3 y$ ಗಿಂತ 5 ವರ್ಷಗಳು ಹೆಚ್ಚು; ಅಂದರೆ, ರಾಜುವಿನ ತಂದೆಗೆ $(3 y+5)$ ವರ್ಷ. ರಾಜುವಿನ ತಂದೆಗೆ 44 ವರ್ಷ ಎಂದು ಸಹ ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ,

$$ \begin{equation*} 3 y+5=44 \tag{4.3} \end{equation*} $$

ಇದು $y$ ನಲ್ಲಿರುವ ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ ರಾಜುವಿನ ವಯಸ್ಸನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4 ಒಬ್ಬ ಅಂಗಡಿಯವನು ಮಾವುಗಳನ್ನು ಎರಡು ರೀತಿಯ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಮಾರಾಟ ಮಾಡುತ್ತಾನೆ, ಒಂದು ಸಣ್ಣದು ಮತ್ತು ಒಂದು ದೊಡ್ಡದು. ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯು 8 ಸಣ್ಣ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗಳಷ್ಟು ಮತ್ತು 4 ಸಡಿಲ ಮಾವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿ ಸಣ್ಣ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮಾವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ. ದೊಡ್ಡ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮಾವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು 100 ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ.

ಪರಿಹಾರ

ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯು $m$ ಮಾವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ. ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯು $m$ ನ 8 ಪಟ್ಟಿಗಿಂತ 4 ಹೆಚ್ಚು, ಅಂದರೆ, $8 m+4$ ಮಾವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು 100 ಎಂದು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ

$$ \begin{equation*} 8 m+4=100 \tag{4.4} \end{equation*} $$

ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಸಣ್ಣ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮಾವುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಅಭ್ಯಾಸ ೪.೧

1. ಕೊನೆಯ ಕಾಲಂ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ.

2. ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಮೌಲ್ಯವು ನೀಡಲಾದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ:

(a) $n+5=19(n=1)$

(b) $7 n+5=19(n=-2)$

(c) $7 n+5=19(n=2)$

(d) $4 p-3=13(p=1)$

(e) $4 p-3=13(p=-4)$

(f) $4 p-3=13(p=0)$

3. ಪ್ರಯತ್ನ ಮತ್ತು ದೋಷ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ:

(i) $5 p+2=17$

(ii) $3 m-14=4$

4. ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳಿಗೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ:

(i) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ $x$ ಮತ್ತು 4 ರ ಮೊತ್ತ 9.

(ii) $y$ ನಿಂದ 2 ಅನ್ನು ಕಳೆದರೆ 8.

(iii) $a$ ನ ಹತ್ತು ಪಟ್ಟು 70.

(iv) ಸಂಖ್ಯೆ $b$ ಅನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದಾಗ 6 ಸಿಗುತ್ತದೆ.

(v) $t$ ನ ಮೂರನೇ ನಾಲ್ಕನೇ ಭಾಗ 15.

(vi) $m$ ನ ಏಳು ಪಟ್ಟು ಮತ್ತು 7 ರ ಮೊತ್ತ 77.

(vii) ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಒಂದು ಭಾಗ $x$ ನಿಂದ 4 ಅನ್ನು ಕಳೆದಾಗ 4 ಸಿಗುತ್ತದೆ.

(viii) ನೀವು $y$ ನ ಆರು ಪಟ್ಟಿನಿಂದ 6 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದರೆ, ನೀವು 60 ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

(ix) ನೀವು $z$ ನ ಮೂರನೇ ಒಂದು ಭಾಗಕ್ಕೆ 3 ಅನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ, ನೀವು 30 ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

5. ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಹೇಳಿಕೆ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ:

(i) $p+4=15$

(ii) $m-7=3$

(iii) $2 m=7$

(iv) $\frac{m}{5}=3$

(v) $\frac{3 m}{5}=6$

(vi) $3 p+4=25$

(vii) $4 p-2=18$

(viii) $\frac{p}{2}+2=8$

6. ಕೆಳಗಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ:

(i) ಇರ್ಫಾನ್ ತಾನು ಪರ್ಮಿತ್ ಹೊಂದಿರುವ ಮಾರ್ಬಲ್ಗಳ ಐದು ಪಟ್ಟಿಗಿಂತ 7 ಮಾರ್ಬಲ್ಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಹೊಂದಿದ್ದೇನೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾನೆ. ಇರ್ಫಾನ್ ಹೊಂದಿರುವ ಮಾರ್ಬಲ್ಗಳು 37. (ಪರ್ಮಿತ್ನ ಮಾರ್ಬಲ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು $m$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.)

(ii) ಲಕ್ಷ್ಮಿಯ ತಂದೆಗೆ 49 ವರ್ಷ. ಅವರು ಲಕ್ಷ್ಮಿಯ ವಯಸ್ಸಿನ ಮೂರು ಪಟ್ಟಿಗಿಂತ 4 ವರ್ಷಗಳು ಹೆಚ್ಚು. (ಲಕ್ಷ್ಮಿಯ ವಯಸ್ಸನ್ನು $y$ ವರ್ಷಗಳು ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.)

(iii) ಉಪಾಧ್ಯಾಯಿನಿಯವರು ತರಗತಿಗೆ ತಮ್ಮ ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯೊಬ್ಬರು ಪಡೆದ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಅಂಕಗಳು ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಮತ್ತು 7 ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ. ಅತ್ಯುನ್ನತ ಅಂಕ 87. (ಕನಿಷ್ಠ ಅಂಕವನ್ನು $l$ ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ.)

(iv) ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಶೃಂಗಕೋನವು ಯಾವುದೇ ಆಧಾರ ಕೋನದ ಎರಡು ಪಟ್ಟು. (ಆಧಾರ ಕೋನವನ್ನು $b$ ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಇರಲಿ. ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ 180 ಡಿಗ್ರಿ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ).

೪.೪.೧ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ $\quad 8-3=4+1$

ಸಮಾನತೆ (4.5) ಹೊಂದಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ (ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ 5 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನ).

• ಈಗ ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ 2 ಅನ್ನು ಕೂಡಿಸೋಣ; ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ

LHS $=8-3+2=5+2=7 \quad$ RHS $=4+1+2=5+2=7$.

ಮತ್ತೆ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ (ಅಂದರೆ, ಅದರ LHS ಮತ್ತು RHS ಸಮಾನ).

ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡಿಸಿದರೆ, ಅದು ಇನ್ನೂ ಹೊಂದಿದೆ.

• ಈಗ ನಾವು ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ 2 ಅನ್ನು ಕಳೆಯೋಣ; ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ,

LHS $=8-3-2=5-2=3$

RHS $=4+1-2=5-2=3$.

ಮತ್ತೆ, ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ ನಾವು ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳಿಂದ ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಳೆದರೆ, ಅದು ಇನ್ನೂ ಹೊಂದಿದೆ.

• ಅದೇ ರೀತಿ, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡ