৪.১ একটি মাইন্ড-রিডিং খেলা!

শিক্ষিকা বলেছেন যে তিনি গণিতে একটি নতুন অধ্যায় শুরু করবেন এবং সেটি হবে সরল সমীকরণ। আপ্পু, সরিতা এবং আমিনা ষষ্ঠ শ্রেণিতে বীজগণিত অধ্যায়ে যা শিখেছে তা পুনরালোচনা করেছে। তুমি কি করেছ? আপ্পু, সরিতা এবং আমিনা উত্তেজিত কারণ তারা একটি খেলা তৈরি করেছে যাকে তারা মাইন্ড রিডার বলে এবং তারা এটা পুরো ক্লাসের সামনে উপস্থাপন করতে চায়।

শিক্ষিকা তাদের উদ্যমের প্রশংসা করেন এবং তাদের খেলা উপস্থাপনের জন্য আমন্ত্রণ জানান। আমিনা শুরু করে; সে সারাকে একটি সংখ্যা ভাবতে বলে, এটিকে 4 দিয়ে গুণ করতে বলে এবং গুণফলের সাথে 5 যোগ করতে বলে। তারপর, সে সারাকে ফলাফল বলতে বলে। সে বলে এটি 65। আমিনা তৎক্ষণাৎ ঘোষণা করে যে সারার ভাবা সংখ্যাটি 15। সারাও মাথা নাড়ে। সারাসহ পুরো ক্লাস অবাক হয়।

এখন আপ্পুর পালা। সে বালুকে একটি সংখ্যা ভাবতে বলে, এটিকে 10 দিয়ে গুণ করতে বলে এবং গুণফল থেকে 20 বিয়োগ করতে বলে। তারপর সে বালুকে জিজ্ঞেস করে তার ফলাফল কত? বালু বলে এটি 50। আপ্পু সঙ্গে সঙ্গে বালুর ভাবা সংখ্যাটি বলে দেয়। এটি 7, বালু তা নিশ্চিত করে।

সবাই জানতে চায় আপ্পু, সরিতা এবং আমিনার উপস্থাপিত ‘মাইন্ড রিডার’ কীভাবে কাজ করে। তুমি কি বুঝতে পারছ কীভাবে এটি কাজ করে? এই অধ্যায় এবং অধ্যায় 12 পড়ার পর, তুমি ভালোভাবেই জানবে খেলাটি কীভাবে কাজ করে।

৪.২ একটি সমীকরণ গঠন

আমরা আমিনার উদাহরণটি নিই। আমিনা সারাকে একটি সংখ্যা ভাবতে বলে। আমিনা সংখ্যাটি জানে না। তার জন্য, এটি যেকোনো কিছু হতে পারে $1,2,3, \ldots, 11, \ldots, 100, \ldots$। আসুন এই অজানা সংখ্যাটিকে একটি অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করি, ধরা যাক $x$। তুমি $y$ বা $t$ বা অন্য কোনো অক্ষর $x$-এর স্থানে ব্যবহার করতে পারো। আমরা অজানা সংখ্যাটি বোঝাতে কোন অক্ষর ব্যবহার করছি সেটি গুরুত্বপূর্ণ নয়। যখন সারা সংখ্যাটিকে 4 দিয়ে গুণ করে, সে পায় $4 x$। তারপর সে গুণফলের সাথে 5 যোগ করে, যা দেয় $4 x+5$। $(4 x+5)$-এর মান $x$-এর মানের উপর নির্ভর করে। সুতরাং যদি $x=1,4 x+5=4 \times 1+5=9$। এর মানে হল যদি সারার মনে 1 থাকত, তাহলে তার ফলাফল হত 9। একইভাবে, যদি সে 5 ভাবত, তাহলে $x=5,4 x+5=4 \times 5+5=25$; সুতরাং যদি সারা 5 বেছে নিত, ফলাফল হত 25।

সারার ভাবা সংখ্যাটি খুঁজে বের করতে আসুন আমরা তার উত্তর 65 থেকে পিছনের দিকে কাজ করি। আমাদের এমন $x$ খুঁজে বের করতে হবে যেন

$$ \begin{equation*} 4 x+5=65 \tag{4.1} \end{equation*} $$

সমীকরণের সমাধান আমাদের সেই সংখ্যাটি দেবে যা সারার মনে ছিল।

আসুন একইভাবে আপ্পুর উদাহরণটি দেখি। ধরা যাক বালু যে সংখ্যাটি বেছে নিয়েছে তা হল y। আপ্পু বালুকে সংখ্যাটিকে 10 দিয়ে গুণ করতে বলে এবং গুণফল থেকে 20 বিয়োগ করতে বলে। অর্থাৎ, $y$ থেকে, বালু প্রথমে পায় $10 y$ এবং সেখান থেকে $(10 y-20)$। ফলাফল জানা আছে 50।

অতএব,

$$ \begin{equation*} 10 y-20=50 \tag{4.2} \end{equation*} $$

এই সমীকরণের সমাধান আমাদের বালুর ভাবা সংখ্যাটি দেবে।

৪.৩ আমরা যা জানি তার পুনরালোচনা

লক্ষ্য করো, (4.1) এবং (4.2) হল সমীকরণ। ষষ্ঠ শ্রেণিতে আমরা সমীকরণ সম্পর্কে যা শিখেছি তা মনে করি। একটি সমীকরণ হল একটি চলরাশির উপর একটি শর্ত। সমীকরণ (4.1)-এ, চলরাশিটি হল $x$; সমীকরণ (4.2)-এ, চলরাশিটি হল $y$।

চলরাশি শব্দের অর্থ এমন কিছু যা পরিবর্তনশীল, অর্থাৎ পরিবর্তিত হতে পারে। একটি চলরাশি বিভিন্ন সংখ্যাসূচক মান গ্রহণ করে; এর মান স্থির নয়। চলরাশিগুলিকে সাধারণত বর্ণমালার অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যেমন $x, y, z, l, m, n, p$, ইত্যাদি। চলরাশি থেকে আমরা রাশি গঠন করি। রাশিগুলি চলরাশির উপর যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগের মতো ক্রিয়া সম্পাদন করে গঠিত হয়। $x$ থেকে, আমরা $(4 x+5)$ রাশিটি গঠন করেছি। এর জন্য, প্রথমে আমরা $x$ কে 4 দিয়ে গুণ করেছি এবং তারপর গুণফলের সাথে 5 যোগ করেছি। একইভাবে, $y$ থেকে, আমরা $(10 y-20)$ রাশিটি গঠন করেছি। এর জন্য, আমরা $y$ কে 10 দিয়ে গুণ করেছি এবং তারপর গুণফল থেকে 20 বিয়োগ করেছি। এগুলি সবই রাশির উদাহরণ।

এইভাবে গঠিত একটি রাশির মান নির্বাচিত চলরাশির মানের উপর নির্ভর করে। যেমন আমরা ইতিমধ্যে দেখেছি, যখন $x=1,4 x+5=9$; যখন $x=5,4 x+5=25$। একইভাবে, যখন

$ \begin{aligned} & x=15,4 x+5=4 \times 15+5=65 \\ & x=0,4 x+5=4 \times 0+5=5 ; \text{ এবং আরও অন্যান্য। } \end{aligned} $

যখন

সমীকরণ (4.1) হল চলরাশি $x$ এর উপর একটি শর্ত। এটি বলে যে $(4 x+5)$ রাশিটির মান 65। শর্তটি পূরণ হয় যখন $x=15$। এটি হল সমীকরণ $4 x+5=65$ এর সমাধান। যখন $x=5,4 x+5=25$ এবং 65 নয়। সুতরাং $x=5$ সমীকরণটির একটি সমাধান নয়। একইভাবে, $x=0$ সমীকরণটির একটি সমাধান নয়। $x$ এর 15 ছাড়া অন্য কোনো মান শর্ত $4 x+5=65$ কে সন্তুষ্ট করে না।

চেষ্টা করো

$(10 y-20)$ রাশিটির মান $y$ এর মানের উপর নির্ভর করে। $y$ কে পাঁচটি ভিন্ন মান দিয়ে এবং প্রতিটি $y$ এর জন্য $(10 y-20)$ এর মান বের করে এটি যাচাই করো। $(10 y-20)$ এর বিভিন্ন মান থেকে যা তুমি পাবে, তুমি কি $10 y-20=50$ এর একটি সমাধান দেখতে পাচ্ছ? যদি কোনো সমাধান না থাকে, তাহলে $y$ কে আরও বেশি মান দিয়ে চেষ্টা করো এবং দেখো শর্ত $10 y-20=50$ পূরণ হয় কিনা।

৪.৪ সমীকরণ কী?

একটি সমীকরণে সর্বদা একটি সমান চিহ্ন থাকে। সমান চিহ্নটি দেখায় যে চিহ্নের বাম দিকের রাশির মান (বাম পক্ষ বা LHS) চিহ্নের ডান দিকের রাশির মানের (ডান পক্ষ বা RHS) সমান। সমীকরণ (4.1)-এ, LHS হল $(4 x+5)$ এবং RHS হল 65। সমীকরণ (4.2)-এ, LHS হল $(10 y-20)$ এবং RHS হল 50।

যদি LHS এবং RHS এর মধ্যে সমান চিহ্ন ছাড়া অন্য কোনো চিহ্ন থাকে, তবে এটি একটি সমীকরণ নয়। সুতরাং, $4 x+5>65$ একটি সমীকরণ নয়।

এটি বলে যে, $(4 x+5)$ এর মান 65 এর চেয়ে বেশি।

একইভাবে, $4 x+5<65$ একটি সমীকরণ নয়। এটি বলে যে $(4 x+5)$ এর মান 65 এর চেয়ে কম।

সমীকরণে, আমরা প্রায়শই দেখি যে RHS শুধুমাত্র একটি সংখ্যা। সমীকরণ (4.1)-এ, এটি 65 এবং সমীকরণ (4.2)-এ, এটি 50। কিন্তু এটি সর্বদা এমন হতে হবে না। একটি সমীকরণের RHS চলরাশি সম্বলিত একটি রাশি হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ

$ 4 x+5=6 x-25 $

এর বাম পাশে রয়েছে রাশি $(4 x+5)$ এবং সমান চিহ্নের ডান পাশে রয়েছে $(6 x-25)$।

সংক্ষেপে, একটি সমীকরণ হল একটি চলরাশির উপর একটি শর্ত। শর্তটি হল যে দুটি রাশির মান সমান হওয়া উচিত। লক্ষ্য করো যে দুটি রাশির মধ্যে অন্তত একটি রাশিতে চলরাশি থাকতে হবে।

আমরা সমীকরণের একটি সরল এবং দরকারী বৈশিষ্ট্যও লক্ষ্য করি। সমীকরণ $4 x+5=65$ হল $65=4 x+5$ এর সমান। একইভাবে, সমীকরণ $6 x-25=4 x+5$ হল $4 x+5=6 x-25$ এর সমান। একটি সমীকরণ একই থাকে, যখন বাম এবং ডান দিকের রাশিগুলি বিনিময় করা হয়। এই বৈশিষ্ট্যটি প্রায়শই সমীকরণ সমাধানে দরকারী হয়।

উদাহরণ 1 নিম্নলিখিত বক্তব্যগুলিকে সমীকরণের আকারে লেখো:

(i) তিন গুণ $x$ এবং 11 এর যোগফল হল 32।

(ii) যদি তুমি একটি সংখ্যার 6 গুণ থেকে 5 বিয়োগ করো, তুমি 7 পাবে।

(iii) $m$ এর এক চতুর্থাংশ হল 7 এর চেয়ে 3 বেশি।

(iv) একটি সংখ্যার এক তৃতীয়াংশ যোগ 5 হল 8।

সমাধান

(i) তিন গুণ $x$ হল $3 x$।

$3 x$ এবং 11 এর যোগফল হল $3 x+11$। যোগফলটি হল 32।

সমীকরণটি হল $3 x+11=32$।

(ii) ধরা যাক সংখ্যাটি হল $z ; z$, 6 দ্বারা গুণ করলে হয় $6 z$।

$6 z$ থেকে 5 বিয়োগ করলে, কেউ পায় $6 z-5$। ফলাফলটি হল 7।

সমীকরণটি হল $6 z-5=7$ (iii) $m$ এর এক চতুর্থাংশ হল $\frac{m}{4}$।

এটি 7 এর চেয়ে 3 বেশি। এর মানে হল পার্থক্য $(\frac{m}{4}-7)$ হল 3।

সমীকরণটি হল $\frac{m}{4}-7=3$।

(iv) সংখ্যাটিকে $n$ ধরা যাক। $n$ এর এক তৃতীয়াংশ হল $\frac{n}{3}$।

এই এক-তৃতীয়াংশ যোগ 5 হল $\frac{n}{3}+5$। এটি হল 8।

সমীকরণটি হল $\frac{n}{3}+5=8$।

উদাহরণ 2 নিম্নলিখিত সমীকরণগুলিকে বাক্য আকারে রূপান্তর করো:

(i) $x-5=9$

(ii) $5 p=20$

(iii) $3 n+7=1$

(iv) $\frac{m}{5}-2=6$

সমাধান

(i) $x$ থেকে 5 নিয়ে গেলে 9 পাওয়া যায়।

(ii) একটি সংখ্যা $p$ এর পাঁচ গুণ হল 20।

(iii) তিন গুণ $n$ এর সাথে 7 যোগ করলে 1 পাওয়া যায়।

(iv) তুমি 6 পাবে, যখন একটি সংখ্যা $m$ এর এক-পঞ্চমাংশ থেকে 2 বিয়োগ করবে।

যেটি লক্ষ্য করা গুরুত্বপূর্ণ তা হল একটি প্রদত্ত সমীকরণের জন্য শুধুমাত্র একটি নয়, অনেকগুলি বাক্য রূপ দেওয়া যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, উপরের সমীকরণ (i) এর জন্য, তুমি বলতে পারো:

চেষ্টা করো

প্রতিটি সমীকরণ (ii), (iii) এবং (iv) এর জন্য অন্তত একটি অন্য রূপ লেখো।

$x$ থেকে 5 বিয়োগ করো, তুমি 9 পাবে।

অথবা সংখ্যাটি $x$ হল 9 এর চেয়ে 5 বেশি।

অথবা সংখ্যাটি $x$ হল 9 এর চেয়ে 5 বেশি।

অথবা $x$ এবং 5 এর মধ্যে পার্থক্য হল 9, ইত্যাদি।

উদাহরণ 3 নিম্নলিখিত পরিস্থিতি বিবেচনা করো:

রাজুর বাবার বয়স রাজুর বয়সের তিন গুণের চেয়ে 5 বছর বেশি। রাজুর বাবার বয়স 44 বছর। রাজুর বয়স বের করতে একটি সমীকরণ গঠন করো।

সমাধান

আমরা রাজুর বয়স জানি না। ধরা যাক এটি $y$ বছর। রাজুর বয়সের তিন গুণ হল $3 y$ বছর। রাজুর বাবার বয়স $3 y$ এর চেয়ে 5 বছর বেশি; অর্থাৎ, রাজুর বাবার বয়স $(3 y+5)$ বছর। এটাও দেওয়া আছে যে রাজুর বাবার বয়স 44 বছর।

অতএব,

$$ \begin{equation*} 3 y+5=44 \tag{4.3} \end{equation*} $$

এটি $y$-এ একটি সমীকরণ। এটি সমাধান করলে রাজুর বয়স পাওয়া যাবে।

উদাহরণ 4 একজন দোকানদার দুই ধরনের বাক্সে আম বিক্রি করে, একটি ছোট এবং একটি বড়। একটি বড় বাক্সে 8টি ছোট বাক্সের আমের সমান আম এবং 4টি আলগা আম থাকে। প্রতিটি ছোট বাক্সে আমের সংখ্যা বের করতে একটি সমীকরণ গঠন করো। একটি বড় বাক্সে আমের সংখ্যা 100 দেওয়া আছে।

সমাধান

ধরা যাক একটি ছোট বাক্সে $m$টি আম থাকে। একটি বড় বাক্সে 8 গুণ $m$ এর চেয়ে 4 বেশি, অর্থাৎ, $8 m+4$টি আম থাকে। কিন্তু এটি দেওয়া আছে 100। সুতরাং

$$ \begin{equation*} 8 m+4=100 \tag{4.4} \end{equation*} $$

এই সমীকরণটি সমাধান করে তুমি একটি ছোট বাক্সে আমের সংখ্যা পেতে পারো।

অনুশীলনী ৪.১

১. সারণির শেষ কলামটি পূর্ণ করো।

২. বন্ধনীতে দেওয়া মানটি প্রদত্ত সমীকরণের একটি সমাধান কিনা তা পরীক্ষা করো:

(a) $n+5=19(n=1)$

(b) $7 n+5=19(n=-2)$

(c) $7 n+5=19(n=2)$

(d) $4 p-3=13(p=1)$

(e) $4 p-3=13(p=-4)$

(f) $4 p-3=13(p=0)$

৩. পরীক্ষা ও ভুল পদ্ধতিতে নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি সমাধান করো:

(i) $5 p+2=17$

(ii) $3 m-14=4$

৪. নিম্নলিখিত বক্তব্যগুলির জন্য সমীকরণ লেখো:

(i) সংখ্যা $x$ এবং 4 এর যোগফল হল 9।

(ii) $y$ থেকে 2 বিয়োগ করলে 8 পাওয়া যায়।

(iii) দশ গুণ $a$ হল 70।

(iv) সংখ্যা $b$ কে 5 দিয়ে ভাগ করলে 6 পাওয়া যায়।

(v) $t$ এর তিন-চতুর্থাংশ হল 15।

(vi) সাত গুণ $m$ যোগ 7 করলে 77 পাওয়া যায়।

(vii) একটি সংখ্যা $x$ এর এক-চতুর্থাংশ থেকে 4 বিয়োগ করলে 4 পাওয়া যায়।

(viii) যদি তুমি 6 গুণ $y$ থেকে 6 নিয়ে যাও, তুমি 60 পাবে।

(ix) যদি তুমি $z$ এর এক-তৃতীয়াংশের সাথে 3 যোগ করো, তুমি 30 পাবে।

৫. নিম্নলিখিত সমীকরণগুলিকে বাক্য আকারে লেখো:

(i) $p+4=15$

(ii) $m-7=3$

(iii) $2 m=7$

(iv) $\frac{m}{5}=3$

(v) $\frac{3 m}{5}=6$

(vi) $3 p+4=25$

(vii) $4 p-2=18$

(viii) $\frac{p}{2}+2=8$

৬. নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে একটি সমীকরণ গঠন করো:

(i) ইরফান বলে যে তার কাছে পারমিতের মার্বেলের সংখ্যার পাঁচ গুণের চেয়ে 7টি মার্বেল বেশি। ইরফানের কাছে 37টি মার্বেল আছে। (পারমিতের মার্বেলের সংখ্যা ধরা যাক $m$।)

(ii) লক্ষ্মীর বাবার বয়স 49 বছর। তিনি লক্ষ্মীর বয়সের তিন গুণের চেয়ে 4 বছর বড়। (লক্ষ্মীর বয়স ধরা যাক $y$ বছর।)

(iii) শিক্ষিকা ক্লাসে বলেন যে তার ক্লাসে একজন শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত সর্বোচ্চ নম্বর হল সর্বনিম্ন নম্বরের দ্বিগুণ যোগ 7। সর্বোচ্চ স্কোর হল 87। (সর্বনিম্ন স্কোর ধরা যাক $l$।)

(iv) একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, শীর্ষকোণটি যেকোনো ভূমিকোণের দ্বিগুণ। (ভূমিকোণ ধরা যাক $b$ ডিগ্রিতে। মনে রাখবে, একটি ত্রিভুজের কোণগুলির সমষ্টি 180 ডিগ্রি)।

৪.৪.১ একটি সমীকরণ সমাধান

একটি সমতা বিবেচনা করো $\quad 8-3=4+1$

সমতা (4.5) সত্য, কারণ এর উভয় পক্ষ সমান (প্রতিটি 5 এর সমান)।

• এখন আসুন আমরা উভয় পক্ষে 2 যোগ করি; ফলে

LHS $=8-3+2=5+2=7 \quad$ RHS $=4+1+2=5+2=7$।

আবার সমতা সত্য (অর্থাৎ, এর LHS এবং RHS সমান)।

সুতরাং যদি আমরা একটি সমতার উভয় পক্ষে একই সংখ্যা যোগ করি, এটি তখনও সত্য থাকে।

• এখন আসুন আমরা উভয় পক্ষ থেকে 2 বিয়োগ করি; ফলে,

LHS $=8-3-2=5-2=3$

RHS $=4+1-2=5-2=3$।

আবার, সমতা সত্য।

সুতরাং যদি আমরা একটি সমতার উভয় পক্ষ থেকে একই সংখ্যা বিয়োগ করি, এটি তখনও সত্য থাকে।

• একইভাবে, যদি আমরা সমতার উভয় পক্ষকে একই অশূন্য সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করি, এটি তখনও সত্য থাকে।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন আমরা সমতার উভয় পক্ষকে 3 দিয়ে গুণ করি, আমরা পাই

LHS $=3 \times(8-3)=3 \times 5=15, \quad$ RHS $=3 \times(4+1)=3 \times 5=15$।

সমতা সত্য।

এখন আসুন আমরা সমতার উভয় পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করি।

LHS $=(8-3) \div 2=5 \div 2=\frac{5}{2}$

RHS $=(4+1) \div 2=5 \div 2=\frac{5}{2}=$ LHS

আবার, সমতা সত্য।

যদি আমরা অন্য কোনো সমতা নিই, আমরা একই সিদ্ধান্ত পাব।

ধরো, আমরা এই নিয়মগুলি মেনে চলি না। বিশেষভাবে, ধরো আমরা একটি সমতার উভয় পক্ষে ভিন্ন সংখ্যা যোগ করি। আমরা এই ক্ষেত্রে দেখব যে সমতা সত্য নয় (অর্থাৎ, এর উভয় পক্ষ সমান নয়)। উদাহরণস্বরূপ, আসুন আবার সমতা (4.5) নিই,

$ 8-3=4+1 $

LHS-এ 2 যোগ করি এবং RHS-এ 3 যোগ করি। নতুন LHS হল $8-3+2=5+2=7$ এবং নতুন RHS হল $4+1+3=5+3=8$। সমতা সত্য নয়, কারণ নতুন LHS এবং RHS সমান নয়।

সুতরাং যদি আমরা একটি সমতার উভয় পক্ষে একই গাণিতিক ক্রিয়া একই সংখ্যা দিয়ে সম্পাদন করতে ব্যর্থ হই, সমতা সত্য নাও থাকতে পারে।

যে সমতায় চলরাশি জড়িত থাকে তা হল একটি সমীকরণ।

এই সিদ্ধান্তগুলি সমীকরণের জন্যও বৈধ, কারণ প্রতিটি সমীকরণে চলরাশি শুধুমাত্র একটি সংখ্যাকেই নির্দেশ করে।

প্রায়শই একটি সমীকরণকে একটি তুলাযন্ত্রের মতো বলা হয়। একটি সমীকরণের উপর একটি গাণিতিক ক্রিয়া সম্পাদন করা হল একটি তুলাযন্ত্রের পাল্লায় ওজন যোগ করা বা থেকে ওজন সরানোর মতো।

একটি সমীকরণ হল একটি তুলাযন্ত্রের মতো যার উভয় পাল্লায় সমান ওজন রয়েছে, সেই ক্ষেত্রে তুলাযন্ত্রের বাহু ঠিক অনুভূমিক থাকে। যদি আমরা উভয় পাল্লায় একই ওজন যোগ করি, বাহুটি অনুভূমিক থাকে। একইভাবে, যদি আমরা উভয় পাল্লা থেকে একই ওজন সরিয়ে ফেলি, বাহুটি অনুভূমিক থাকে। অন্যদিকে, যদি আমরা পাল্লায় ভিন্ন ওজন যোগ করি বা থেকে ভিন্ন ওজন সরিয়ে ফেলি, তুলাযন্ত্রটি হেলে পড়ে; অর্থাৎ, তুলাযন্ত্রের বাহুটি অনুভূমিক থাকে না।

আমরা একটি সমীকরণ সমাধানের জন্য এই নীতিটি ব্যবহার করি। এখানে, অবশ্যই,

তুলাযন্ত্রটি কাল্পনিক এবং সংখ্যাগুলিকে ওজন হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে যা শারীরিকভাবে একে অপরের বিরুদ্ধে ভারসাম্য বজায় রাখতে পারে। এই নীতিটি উপস্থাপনের আসল উদ্দেশ্য হল এটি। আসুন কিছু উদাহরণ নিই।

• সমীকরণটি বিবেচনা করো: $x+3=8$

আমরা এই সমীকরণের উভয় পক্ষ থেকে 3 বিয়োগ করব।

নতুন LHS হল $\quad x+3-3=x$ এবং নতুন RHS হল $8-3=5$

যেহেতু এটি ভারসাম্য নষ্ট করে না, আমাদের আছে

$$ \text{ New LHS = New RHS } $$

আমরা কেন 3 বিয়োগ করব, অন্য কোনো সংখ্যা নয়? 3 যোগ করার চেষ্টা করো। এটা কি সাহায্য করবে? কেন নয়? কারণ 3 বিয়োগ করলে LHS কমে $x$ হয়।

অথবা

$ x=5 $

যা ঠিক আমরা যা চাই, সমীকরণ (4.6) এর সমাধান।

আমরা সঠিক কিনা তা নিশ্চিত করতে, আমরা মূল সমীকরণে $x=5$ বসাবো। আমরা পাই LHS $=x+3=5+3=8$, যা প্রয়োজন অনুসারে RHS এর সমান।

সঠিক গাণিতিক ক্রিয়া (অর্থাৎ, 3 বিয়োগ) সমীকরণের উভয় পক্ষে সম্পাদন করে, আমরা সমীকরণের সমাধানে পৌঁছেছি।

• আসুন আরেকটি সমীকরণ দেখি

$$ \begin{equation*} x-3=10 \tag{4.7} \end{equation*} $$

এখানে আমাদের কী করা উচিত? আমাদের উভয় পক্ষে 3 যোগ করা উচিত, এমনটি করে, আমরা ভারসাম্য বজায় রাখব এবং এছাড়াও LHS শুধুমাত্র $x$ এ পরিণত হবে।

নতুন LHS $=x-3+3=x$, নতুন RHS $=10+3=13$

অতএব, $x=13$, যা হল প্রয়োজনীয় সমাধান।

মূল সমীকরণ (4.7) এ $x=13$ বসিয়ে আমরা নিশ্চিত করি যে সমাধানটি সঠিক:

মূল সমীকরণের LHS $=x-3=13-3=10$

এটি প্রয়োজন অনুসারে RHS এর সমান।

একইভাবে, আসুন সমীকরণগুলি দেখি

$$ \begin{align*} & 5 y=35 \tag{4.8}\\ & \frac{m}{2}=5 \tag{4.9} \end{align*} $$

প্রথম ক্ষেত্রে, আমরা উভয় পক্ষকে 5 দিয়ে ভাগ করব। এটি আমাদের LHS-এ শুধুমাত্র $y$ দেবে

$ \text{ নতুন LHS }=\frac{5 y}{5}=\frac{5 \times y}{5}=y, \quad \text{ নতুন RHS }=\frac{35}{5}=\frac{5 \times 7}{5}=7 $

অতএব,

$ y=7 $

এটি হল প্রয়োজনীয় সমাধান। আমরা $y=7$ কে সমীকরণ (4.8) এ বসিয়ে পরীক্ষা করতে পারি যে এটি সন্তুষ্ট হয়।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, আমরা উভয় পক্ষকে 2 দিয়ে গুণ করব। এটি আমাদের LHS-এ শুধুমাত্র $m$ দেবে

নতুন LHS $=\frac{m}{2} \times 2=m$। নতুন RHS $=5 \times 2=10$।

সুতরাং, $m=10$ (এটি প্রয়োজনীয় সমাধান। তুমি পরীক্ষা করতে পারো সমাধানটি সঠিক কিনা)।

কেউ দেখতে পারে যে উপরের উদাহরণগুলিতে, আমাদের যে ক্রিয়া সম্পাদন করতে হবে তা সমীকরণের উপর নির্ভর করে। আমাদের চেষ্টা করা উচিত সমীকরণের চলরাশিটিকে আলাদা করা। কখনও কখনও, এটি করার জন্য আমাদের একাধিক গাণিতিক ক্রিয়া সম্পাদন করতে হতে পারে। আসুন এই বিষয়টি মাথায় রেখে আরও কিছু সমীকরণ সমাধান করি।

উদাহরণ 5 সমাধান করো: (a) $3 n+7=25$

(b) $2 p-1=23$

সমাধান

(a) আমরা ধাপে ধাপে এগিয়ে সমীকরণের LHS-এ চলরাশি $n$ কে আলাদা করব। LHS হল $3 n+7$। আমরা প্রথমে এটির থেকে 7 বিয়োগ করব যাতে আমরা $3 n$ পাই। এর থেকে, পরবর্তী ধাপে আমরা 3 দিয়ে ভাগ করে $n$ পাব। মনে রাখবে আমরা অবশ্যই সমীকরণের উভয় পক্ষে একই ক্রিয়া করব। অতএব, উভয় পক্ষ থেকে 7 বিয়োগ করে,

$$ \begin{align*} 3 n+7-7 & =25-7 \tag{Step1}\\ 3 n & =18 \end{align*} $$

এখন উভয় পক্ষকে 3 দিয়ে ভাগ করো,

$$ \begin{equation*} \frac{3 n}{3}=\frac{18}{3} \tag{Step2} \end{equation*} $$

অথবা $\quad n=6$, যা হল সমাধান।

(b) এখানে আমাদের কী করা উচিত? প্রথমে আমরা উভয় পক্ষে 1 যোগ করব:

$$ \begin{align*} 2 p-1+1 & =23+1 \tag{Step1}\\ 2 p & =24 \end{align*} $$

অথবা

এখন উভয় পক্ষকে 2 দিয়ে ভাগ করো, আমরা পাই $\frac{2 p}{2}=\frac{24}{2}$

অথবা

$$ \begin{equation*} p=12 \text{, which is the solution. } \tag{Step2} \end{equation*} $$

তোমার গড়ে তোলা একটি ভাল অভ্যাস হল তুমি যে সমাধান পেয়েছ তা পরীক্ষা করা। যদিও আমরা উপরের (a) এর জন্য এটি করিনি, আসুন এই উদাহরণের জন্য এটি করি।

আসুন সমাধান $p=12$ কে আবার সমীকরণে বসাই।

$ \begin{aligned} \text{ LHS } & =2 p-1=2 \times 12-1=24-1 \\ & =23=\text{ RHS } \end{aligned} $

এইভাবে সমাধানটির সঠিকতা পরীক্ষা করা হল।

তুমি কেন (a) এর সমাধানও পরীক্ষা করছ না?

আমরা এখন আপ্পু, সরিতা এবং আমিনার উপস্থাপিত মাইন্ড-রিডিং খেলায় ফিরে যাওয়ার এবং তারা কীভাবে তাদের উত্তর পেয়েছে তা বোঝার অবস্থায় আছি। এই উদ্দেশ্যে, আসুন সমীকরণ (4.1) এবং (4.2) দেখি যা যথাক্রমে আমিনা এবং আপ্পুর উদাহরণের সাথে মিলে যায়।

• প্রথমে সমীকরণ $4 x+5=65$ বিবেচনা করো।

উভয় পক্ষ থেকে 5 বিয়োগ করলে, $4 x+5-5=65-5$।

অর্থাৎ $4 x=60$

উভয় পক্ষকে 4 দিয়ে ভাগ করো; এটি $x$ কে আলাদা করবে। আমরা পাই $\frac{4 x}{4}=\frac{60}{4}$

অথবা $\quad x=15$, যা হল সমাধান। (পরীক্ষা করো, এটি সঠিক কিনা।)

• এখন বিবেচনা করো, $10 y-20=50$

উভয় পক্ষে 20 যোগ করলে, আমরা পাই $10 y-20+20=50+20$ অথবা $10 y=70$

উভয় পক্ষকে 10 দিয়ে ভাগ করলে, আমরা পাই $\frac{10 y}{10}=\frac{70}{10}$

অথবা $\quad y=7$, যা হল সমাধান। (পরীক্ষা করো এটি সঠিক কিনা।)

তুমি বুঝতে পারবে যে ঠিক এই উত্তরগুলি ছিল যা আপ্পু, সরিতা এবং আমিনা দিয়েছিল। তারা সমীকরণ গঠন এবং সমাধান করতে শিখেছিল। সেইজন্য তারা তাদের মাইন্ড রিডার খেলা তৈরি করতে পেরেছিল এবং পুরো ক্লাসকে মুগ্ধ করেছিল। আমরা ৪.৭ বিভাগে এতে ফিরে আসব।

অনুশীলনী ৪.২

১. প্রথমে সেই ধাপটি বলো যা তুমি চলরাশি আলাদা করতে ব্যবহার করবে এবং তারপর সমীকরণটি সমাধান করো:

(a) $x-1=0$

(b) $x+1=0$

(c) $x-1=5$

(d) $x+6=2$

(e) $y-4=-7$

(f) $y-4=4$

(g) $y+4=4$

(h) $y+4=-4$

২. প্রথমে সেই ধাপটি বলো যা তুমি চলরাশি আলাদা করতে ব্যবহার করবে এবং তারপর সমীকরণটি সমাধান করো:

(a) $3 l=42$

(b) $\frac{b}{2}=6$

(c) $\frac{p}{7}=4$

(d) $4 x=25$

(e) $8 y=36$

(f) $\frac{z}{3}=\frac{5}{4}$

(g) $\frac{a}{5}=\frac{7}{15}$

(h) $20 t=-10$

৩. সেই ধাপগুলি বলো যা তুমি চলরাশি আলাদা করতে ব্যবহার করবে এবং তারপর সমীকরণটি সমাধান করো:

(a) $3 n-2=46$

(b) $5 m+7=17$

(c) $\frac{20 p}{3}=40$

(d) $\frac{3 p}{10}=6$

৪. নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি সমাধান করো:

(a) $10 p=100$

(b) $10 p+10=100$

(c) $\frac{p}{4}=5$

(d) $\frac{-p}{3}=5$

(e) $\frac{3 p}{4}=6$

(f) $3 s=-9$

(g) $3 s+12=0$

(h) $3 s=0$

(i) $2 q=6$

(j) $2 q-6=0$

(k) $2 q+6=0$

(l) $2 q+6=12$

৪.৫ আরও সমীকরণ

আসুন আরও কিছু সমীকরণ সমাধান করার অনুশীলন করি। এই সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, আমরা একটি সংখ্যা স্থানান্তর সম্পর্কে শিখব, অর্থাৎ, এক পক্ষ থেকে অন্য পক্ষে নিয়ে যাওয়া। আমরা একটি সংখ্যা উভয় পক্ষে যোগ বা বিয়োগ করার পরিবর্তে স্থানান্তর করতে পারি।

উদাহরণ 6 সমাধান করো: $12 p-5=25$

সমাধান

• সমীকরণের উভয় পক্ষে 5 যোগ করলে,

$ 12 p-5+5=25+5 \quad \text{ বা } \quad 12 p=30 $

• উভয় পক্ষকে 12 দিয়ে ভাগ করলে,

$ \frac{12 p}{12}=\frac{30}{12} \text{ বা } \quad p=\frac{5}{2} $

পরীক্ষা সমীকরণ 4.12 এর LHS-এ $p=\frac{5}{2}$ বসিয়ে,

$ \begin{aligned} \text{ LHS } & =12 \times \frac{5}{2}-5=6 \times 5-5 \\ & =30-5=25=RHS \end{aligned} $

লক্ষ্য করো, উভয় পক্ষে 5 যোগ করা $(-5)$ এর পক্ষ পরিবর্তন করার সমান।

$ \begin{aligned} & 12 p-5=25 \\ & 12 p=25+5 \end{aligned} $

পক্ষ পরিবর্তন করাকে স্থানান্তর বলে। একটি সংখ্যা স্থানান্তর করার সময়, আমরা তার চিহ্ন পরিবর্তন করি।

যেমন আমরা দেখেছি, সমীকরণ সমাধান করার সময় একটি সাধারণভাবে ব্যবহৃত ক্রিয়া হল উভয় পক্ষে একই সংখ্যা যোগ বা বিয়োগ করা। একটি সংখ্যা স্থানান্তর করা (অর্থাৎ, সংখ্যার পক্ষ পরিবর্তন করা) উভয়