४.१ मन वाचण्याचा खेळ!

शिक्षिका म्हणाल्या आहेत की त्या गणितात एक नवीन प्रकरण सुरू करणार आहेत आणि ते साधी समीकरणे आहेत. अप्पू, सरिता आणि अमीनाने सहावीच्या वर्गात बीजगणिताच्या प्रकरणात काय शिकलात ते पुनरावलोकन केले आहे. तुम्ही केले आहे का? अप्पू, सरिता आणि अमीना उत्साहित आहेत कारण त्यांनी एक खेळ तयार केला आहे ज्याला ते माइंड रीडर म्हणतात आणि तो संपूर्ण वर्गासमोर सादर करू इच्छितात.

शिक्षिका त्यांच्या उत्साहाचे कौतुक करतात आणि त्यांना त्यांचा खेळ सादर करण्यासाठी आमंत्रित करतात. अमीना सुरुवात करते; ती साराला एक संख्या विचार करायला सांगते, ती ४ ने गुणाकार करायला सांगते आणि गुणाकारात ५ मिळवायला सांगते. मग, ती साराला निकाल सांगायला सांगते. ती म्हणते की तो ६५ आहे. अमीना ताबडतोब जाहीर करते की साराने विचार केलेली संख्या १५ आहे. सारा मान डोलवते. सारासह संपूर्ण वर्ग आश्चर्यचकित झाला आहे.

आता अप्पूची पाळी आहे. तो बालूला एक संख्या विचार करायला सांगतो, ती १० ने गुणाकार करायला सांगतो आणि गुणाकारातून २० वजा करायला सांगतो. मग तो बालूला विचारतो की त्याचा निकाल काय आहे? बालू म्हणतो की तो ५० आहे. अप्पू लगेच बालूने विचारलेली संख्या सांगतो. ती ७ आहे, बालू याची पुष्टी करतो.

सर्वांना हे जाणून घ्यायचे आहे की अप्पू, सरिता आणि अमीनाने सादर केलेला ‘माइंड रीडर’ कसा काम करतो. तुम्हाला तो कसा काम करतो ते दिसते का? हे प्रकरण आणि प्रकरण १२ चा अभ्यास केल्यानंतर, तुम्हाला हा खेळ कसा काम करतो हे चांगले माहित होईल.

४.२ समीकरणाची रचना

चला अमीनाचे उदाहरण घेऊ. अमीना साराला एक संख्या विचार करायला सांगते. अमीनाला ती संख्या माहित नाही. तिच्यासाठी, ती काहीही असू शकते $1,2,3, \ldots, 11, \ldots, 100, \ldots$ ही अज्ञात संख्या एका अक्षराने दर्शवू, समजा $x$. तुम्ही $y$ किंवा $t$ किंवा $x$ ऐवजी काही अन्य अक्षर वापरू शकता. साराने विचार केलेली अज्ञात संख्या दर्शवण्यासाठी आपण कोणते अक्षर वापरतो याने काही फरक पडत नाही. जेव्हा सारा त्या संख्येचा ४ ने गुणाकार करते, तेव्हा तिला $4 x$ मिळते. मग ती गुणाकारात ५ मिळवते, ज्यामुळे $4 x+5$ मिळते. $(4 x+5)$ चे मूल्य $x$ च्या मूल्यावर अवलंबून असते. अशाप्रकारे जर $x=1,4 x+5=4 \times 1+5=9$. याचा अर्थ असा की जर साराच्या मनात १ असेल, तर तिचा निकाल ९ असता. त्याचप्रमाणे, जर तिने ५ विचार केला, तर $x=5,4 x+5=4 \times 5+5=25$ साठी; अशाप्रकारे जर साराने ५ निवडला असता, तर निकाल २५ असता.

साराने विचार केलेली संख्या शोधण्यासाठी, चला तिच्या उत्तर ६५ पासून मागे काम करू. आपल्याला $x$ असे शोधायचे आहे की

$$ \begin{equation*} 4 x+5=65 \tag{4.1} \end{equation*} $$

समीकरणाचे निरसन आपल्याला ती संख्या देईल जी साराच्या मनात होती.

चला त्याचप्रमाणे अप्पूचे उदाहरण पाहू. बालूने निवडलेली संख्या y म्हणून ओळखू. अप्पू बालूला ती संख्या १० ने गुणाकार करायला सांगतो आणि गुणाकारातून २० वजा करायला सांगतो. म्हणजेच, $y$ पासून, बालूला प्रथम $10 y$ मिळते आणि तेथून $(10 y-20)$ मिळते. निकाल ५० आहे असे माहित आहे.

म्हणून,

$$ \begin{equation*} 10 y-20=50 \tag{4.2} \end{equation*} $$

या समीकरणाचे निरसन आपल्याला बालूने विचार केलेली संख्या देईल.

४.३ आपण काय शिकलो ते पुनरावलोकन

लक्षात ठेवा, (४.१) आणि (४.२) ही समीकरणे आहेत. सहावीच्या वर्गात आपण समीकरणांबद्दल काय शिकलो ते आठवूया. समीकरण ही चलावरील एक अट आहे. समीकरण (४.१) मध्ये, चल $x$ आहे; समीकरण (४.२) मध्ये, चल $y$ आहे.

चल या शब्दाचा अर्थ असा आहे की जे बदलू शकते, म्हणजेच परिवर्तन होऊ शकते. एक चल विविध संख्यात्मक मूल्ये घेते; त्याचे मूल्य निश्चित नसते. चल सहसा वर्णमालेतील अक्षरांनी दर्शविली जातात, जसे की $x, y, z, l, m, n, p$, इत्यादी. चलांपासून, आपण क्रिया करून व्यंजके तयार करतो. व्यंजके चलांवर बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार यासारख्या क्रिया करून तयार केली जातात. $x$ पासून, आपण $(4 x+5)$ हे व्यंजक तयार केले. यासाठी, आपण प्रथम $x$ चा ४ ने गुणाकार केला आणि नंतर गुणाकारात ५ मिळवला. त्याचप्रमाणे, $y$ पासून, आपण $(10 y-20)$ हे व्यंजक तयार केले. यासाठी, आपण $y$ चा १० ने गुणाकार केला आणि नंतर गुणाकारातून २० वजा केला. ही सर्व व्यंजकांची उदाहरणे आहेत.

अशाप्रकारे तयार झालेल्या व्यंजकाचे मूल्य निवडलेल्या चलाच्या मूल्यावर अवलंबून असते. जसे आपण आधीच पाहिले आहे, जेव्हा $x=1,4 x+5=9$; जेव्हा $x=5,4 x+5=25$. त्याचप्रमाणे, जेव्हा

$ \begin{aligned} & x=15,4 x+5=4 \times 15+5=65 \\ & x=0,4 x+5=4 \times 0+5=5 ; \text{ आणि असेच. } \end{aligned} $

जेव्हा

समीकरण (४.१) ही चल $x$ वरील एक अट आहे. ती अशी सांगते की व्यंजक $(4 x+5)$ चे मूल्य ६५ आहे. ही अट पूर्ण होते जेव्हा $x=15$. हे समीकरण $4 x+5=65$ चे निरसन आहे. जेव्हा $x=5,4 x+5=25$ आणि ६५ नाही. अशाप्रकारे $x=5$ हे समीकरणाचे निरसन नाही. त्याचप्रमाणे, $x=0$ हे समीकरणाचे निरसन नाही. १५ व्यतिरिक्त $x$ चे इतर कोणतेही मूल्य अट $4 x+5=65$ पूर्ण करत नाही.

प्रयत्न करा

व्यंजक $(10 y-20)$ चे मूल्य $y$ च्या मूल्यावर अवलंबून असते. $y$ ला पाच वेगवेगळी मूल्ये देऊन आणि प्रत्येक $y$ साठी $(10 y-20)$ चे मूल्य शोधून हे सत्यापित करा. तुम्हाला मिळालेल्या $(10 y-20)$ च्या वेगवेगळ्या मूल्यांपासून, तुम्हाला $10 y-20=50$ चे निरसन दिसते का? जर निरसन नसेल, तर $y$ ला अधिक मूल्ये देण्याचा प्रयत्न करा आणि अट $10 y-20=50$ पूर्ण होते का ते शोधा.

४.४ समीकरण म्हणजे काय?

समीकरणात नेहमी समानतेचे चिन्ह असते. समानतेचे चिन्ह दर्शवते की चिन्हाच्या डावीकडील व्यंजकाचे मूल्य (डावी बाजू किंवा LHS) चिन्हाच्या उजवीकडील व्यंजकाच्या मूल्यासारखे (उजवी बाजू किंवा RHS) असते. समीकरण (४.१) मध्ये, LHS $(4 x+5)$ आहे आणि RHS ६५ आहे. समीकरण (४.२) मध्ये, LHS $(10 y-20)$ आहे आणि RHS ५० आहे.

जर LHS आणि RHS मध्ये समानतेच्या चिन्हाशिवाय काही अन्य चिन्ह असेल, तर ते समीकरण नाही. अशाप्रकारे, $4 x+5>65$ हे समीकरण नाही.

ते असे सांगते की, $(4 x+5)$ चे मूल्य ६५ पेक्षा मोठे आहे.

त्याचप्रमाणे, $4 x+5<65$ हे समीकरण नाही. ते असे सांगते की $(4 x+5)$ चे मूल्य ६५ पेक्षा लहान आहे.

समीकरणांमध्ये, आपल्याला असे आढळून येते की RHS ही फक्त एक संख्या असते. समीकरण (४.१) मध्ये, ती ६५ आहे आणि समीकरण (४.२) मध्ये, ती ५० आहे. परंतु हे नेहमीच असावे लागत नाही. समीकरणाची RHS ही चल असलेली व्यंजक असू शकते. उदाहरणार्थ, समीकरण

$ 4 x+5=6 x-25 $

च्या डावीकडे $(4 x+5)$ हे व्यंजक आहे आणि समानतेच्या चिन्हाच्या उजवीकडे $(6 x-25)$ आहे.

थोडक्यात, समीकरण ही चलावरील एक अट आहे. अशी अट आहे की दोन व्यंजकांचे मूल्य समान असावे. लक्षात ठेवा की दोनपैकी किमान एक व्यंजकात चल असणे आवश्यक आहे.

आपण समीकरणांचा एक सोपा आणि उपयुक्त गुणधर्म देखील लक्षात घेतो. समीकरण $4 x+5=65$ हे $65=4 x+5$ सारखेच आहे. त्याचप्रमाणे, समीकरण $6 x-25=4 x+5$ हे $4 x+5=6 x-25$ सारखेच आहे. जेव्हा डावीकडील आणि उजवीकडील व्यंजके एकमेकांशी अदलाबदल केली जातात, तेव्हा समीकरण तेच राहते. हा गुणधर्म बर्याचदा समीकरणे सोडवण्यासाठी उपयुक्त ठरतो.

उदाहरण १ खालील विधाने समीकरणाच्या रूपात लिहा:

(i) $x$ च्या तीन पट आणि ११ ची बेरीज ३२ आहे.

(ii) जर तुम्ही एका संख्येच्या ६ पटीतून ५ वजा केले, तर तुम्हाला ७ मिळते.

(iii) $m$ चा एक चतुर्थांश हा ७ पेक्षा ३ ने अधिक आहे.

(iv) एका संख्येचा एक तृतीयांश अधिक ५ हे ८ आहे.

उकल

(i) $x$ च्या तीन पट $3 x$ आहे.

$3 x$ आणि ११ ची बेरीज $3 x+11$ आहे. बेरीज ३२ आहे.

समीकरण $3 x+11=32$ आहे.

(ii) समजा संख्या $z ; z$ आहे, ६ ने गुणाकार केल्यावर $6 z$ मिळते.

$6 z$ मधून ५ वजा केल्यावर, $6 z-5$ मिळते. निकाल ७ आहे.

समीकरण $6 z-5=7$ आहे. (iii) $m$ चा एक चतुर्थांश $\frac{m}{4}$ आहे.

ते ७ पेक्षा ३ ने अधिक आहे. याचा अर्थ फरक $(\frac{m}{4}-7)$ हा ३ आहे.

समीकरण $\frac{m}{4}-7=3$ आहे.

(iv) संख्या $n$ मानू. $n$ चा एक तृतीयांश $\frac{n}{3}$ आहे.

हा एक तृतीयांश अधिक ५ म्हणजे $\frac{n}{3}+5$ आहे. ते ८ आहे.

समीकरण $\frac{n}{3}+5=8$ आहे.

उदाहरण २ खालील समीकरणे विधान रूपात रूपांतरित करा:

(i) $x-5=9$

(ii) $5 p=20$

(iii) $3 n+7=1$

(iv) $\frac{m}{5}-2=6$

उकल

(i) $x$ मधून ५ काढल्यास ९ मिळते.

(ii) एका संख्येच्या $p$ पट हे २० आहे.

(iii) $n$ च्या तीन पटीत ७ मिळवल्यास १ मिळते.

(iv) तुम्हाला ६ मिळते, जेव्हा तुम्ही एका संख्येच्या $m$ पैकी एक पंचमांश मधून २ वजा करता.

लक्षात ठेवण्यासारखी महत्त्वाची गोष्ट अशी आहे की दिलेल्या समीकरणासाठी, फक्त एक नव्हे तर अनेक विधान रूपे देता येऊ शकतात. उदाहरणार्थ, वरील समीकरण (i) साठी, तुम्ही असे म्हणू शकता:

प्रयत्न करा

प्रत्येक समीकरण (ii), (iii) आणि (iv) साठी किमान एक अन्य रूप लिहा.

$x$ मधून ५ वजा करा, तुम्हाला ९ मिळेल.

किंवा संख्या $x$ ही ९ पेक्षा ५ ने अधिक आहे.

किंवा संख्या $x$ ही ९ पेक्षा ५ ने मोठी आहे.

किंवा $x$ आणि ५ मधील फरक ९ आहे, आणि असेच.

उदाहरण ३ खालील परिस्थितीचा विचार करा:

राजूच्या वडिलांचे वय राजूच्या वयाच्या तीन पटीपेक्षा ५ वर्षांनी अधिक आहे. राजूचे वडील ४४ वर्षांचे आहेत. राजूचे वय शोधण्यासाठी एक समीकरण तयार करा.

उकल

आपल्याला राजूचे वय माहित नाही. ते $y$ वर्षे मानू. राजूच्या वयाच्या तीन पट $3 y$ वर्षे आहे. राजूच्या वडिलांचे वय $3 y$ पेक्षा ५ वर्षांनी अधिक आहे; म्हणजेच, राजूचे वडील $(3 y+5)$ वर्षांचे आहेत. हे देखील दिलेले आहे की राजूचे वडील ४४ वर्षांचे आहेत.

म्हणून,

$$ \begin{equation*} 3 y+5=44 \tag{4.3} \end{equation*} $$

हे $y$ मधील एक समीकरण आहे. ते सोडवल्यावर राजूचे वय देईल.

उदाहरण ४ एक दुकानदार आंबे दोन प्रकारच्या पेट्यांमध्ये विकतो, एक लहान आणि एक मोठी. एका मोठ्या पेटीत ८ लहान पेट्या आणि ४ सैल आंबे असतात. प्रत्येक लहान पेटीत किती आंबे आहेत हे दर्शवणारे समीकरण तयार करा. मोठ्या पेटीतील आंब्यांची संख्या १०० दिलेली आहे.

उकल

समजा एका लहान पेटीत $m$ आंबे आहेत. एका मोठ्या पेटीत $m$ च्या ८ पटीपेक्षा ४ अधिक आहेत, म्हणजेच, $8 m+4$ आंबे आहेत. परंतु हे १०० आहे असे दिलेले आहे. अशाप्रकारे

$$ \begin{equation*} 8 m+4=100 \tag{4.4} \end{equation*} $$

हे समीकरण सोडवून तुम्हाला लहान पेटीतील आंब्यांची संख्या मिळू शकते.

उदाहरणे ४.१

१. सारणीचा शेवटचा स्तंभ पूर्ण करा.

२. कंसात दिलेले मूल्य दिलेल्या समीकरणाचे निरसन आहे की नाही ते तपासा:

(a) $n+5=19(n=1)$

(b) $7 n+5=19(n=-2)$

(c) $7 n+5=19(n=2)$

(d) $4 p-3=13(p=1)$

(e) $4 p-3=13(p=-4)$

(f) $4 p-3=13(p=0)$

३. चाचणी आणि त्रुटी पद्धतीने खालील समीकरणे सोडवा:

(i) $5 p+2=17$

(ii) $3 m-14=4$

४. खालील विधानांसाठी समीकरणे लिहा:

(i) संख्या $x$ आणि ४ ची बेरीज ९ आहे.

(ii) $y$ मधून २ वजा केल्यास ८ मिळते.

(iii) $a$ च्या दहा पट हे ७० आहे.

(iv) संख्या $b$ ला ५ ने भागल्यास ६ मिळते.

(v) $t$ चा तीन चतुर्थांश हा १५ आहे.

(vi) $m$ च्या सात पट अधिक ७ मिळवल्यास ७७ मिळते.

(vii) एका संख्येच्या $x$ चा एक चतुर्थांश वजा ४ केल्यास ४ मिळते.

(viii) जर तुम्ही $y$ च्या सहा पटीतून ६ काढले, तर तुम्हाला ६० मिळते.

(ix) जर तुम्ही $z$ च्या एक तृतीयांशात ३ मिळवले, तर तुम्हाला ३० मिळते.

५. खालील समीकरणे विधान रूपात लिहा:

(i) $p+4=15$

(ii) $m-7=3$

(iii) $2 m=7$

(iv) $\frac{m}{5}=3$

(v) $\frac{3 m}{5}=6$

(vi) $3 p+4=25$

(vii) $4 p-2=18$

(viii) $\frac{p}{2}+2=8$

६. खालील प्रकरणांमध्ये समीकरण तयार करा:

(i) इरफान म्हणतो की त्याच्याकडे परमीतकडे असलेल्या मार्बल्सच्या पाच पटीपेक्षा ७ मार्बल्स अधिक आहेत. इरफानकडे ३७ मार्बल्स आहेत. (परमीतच्या मार्बल्सची संख्या $m$ माना.)

(ii) लक्ष्मीचे वडील ४९ वर्षांचे आहेत. ते लक्ष्मीच्या वयाच्या तीन पटीपेक्षा ४ वर्षांनी मोठे आहेत. (लक्ष्मीचे वय $y$ वर्षे माना.)

(iii) शिक्षिका वर्गाला सांगतात की तिच्या वर्गातील एका विद्यार्थ्याने मिळवलेले सर्वोच्च गुण हे सर्वात कमी गुणांच्या दुप्पट अधिक ७ आहेत. सर्वोच्च गुण ८७ आहेत. (सर्वात कमी गुण $l$ माना.)

(iv) समद्विभुज त्रिकोणात, शिरोबिंदू कोन हा कोणत्याही पायाच्या कोनाच्या दुप्पट असतो. (पायाचा कोन $b$ अंशांमध्ये माना. लक्षात ठेवा की त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज १८० अंश आहे).

४.४.१ समीकरण सोडवणे

समानता $\quad 8-3=4+1$ विचारात घ्या

समानता (४.५) कायम आहे, कारण तिच्या दोन्ही बाजू समान आहेत (प्रत्येक ५ च्या समान आहे).

• आता आपण दोन्ही बाजूंमध्ये २ मिळवू; परिणामी

LHS $=8-3+2=5+2=7 \quad$ RHS $=4+1+2=5+2=7$.

पुन्हा समानता कायम आहे (म्हणजे, तिची LHS आणि RHS समान आहेत).

अशाप्रकारे जर आपण समानतेच्या दोन्ही बाजूंमध्ये समान संख्या मिळवली, तरी ती कायम राहते.

• आता आपण दोन्ही बाजूंमधून २ वजा करू; परिणामी,

LHS $=8-3-2=5-2=3$

RHS $=4+1-2=5-2=3$.

पुन्हा, समानता कायम आहे.

अशाप्रकारे जर आपण समानतेच्या दोन्ही बाजूंमधून समान संख्या वजा केली, तरी ती कायम राहते.

• त्याचप्रमाणे, जर आपण समानतेच्या दोन्ही बाजूंना समान शून्येतर संख्येने गुणाकार किंवा भागाकार केला, तरी ती कायम राहते.

उदाहरणार्थ, समानतेच्या दोन्ही बाजूंना ३ ने गुणाकार करू, आपल्याला मिळेल

LHS $=3 \times(8-3)=3 \times 5=15, \quad$ RHS $=3 \times(4+1)=3 \times 5=15$.

समानता कायम आहे.

आता समानतेच्या दोन्ही बाजूंना २ ने भागू.

LHS $=(8-3) \div 2=5 \div 2=\frac{5}{2}$

RHS $=(4+1) \div 2=5 \div 2=\frac{5}{2}=$ LHS

पुन्हा, समानता कायम आहे.

जर आपण इतर कोणतीही समानता घेतली, तर आपल्याला तेच निष्कर्ष सापडतील.

समजा, आपण हे नियम पाळत नाही. विशेषतः, समजा आपण समानतेच्या दोन्ही बाजूंमध्ये वेगवेगळ्या संख्या मिळवतो. या प्रकरणात आपल्याला असे आढळून येईल की समानता कायम राहत नाही (म्हणजे, तिच्या दोन्ही बाजू समान नाहीत). उदाहरणार्थ, पुन्हा समानता (४.५) घेऊ,

$ 8-3=4+1 $

LHS मध्ये २ मिळवा आणि RHS मध्ये ३ मिळवा. नवीन LHS $8-3+2=5+2=7$ आहे आणि नवीन RHS $4+1+3=5+3=8$ आहे. समानता कायम राहत नाही, कारण नवीन LHS आणि RHS समान नाहीत.

अशाप्रकारे जर आपण समानतेच्या दोन्ही बाजूंवर समान संख्येसह समान गणितीय क्रिया करण्यात अयशस्वी ठरलो, तर समानता कायम राहू शकत नाही.

चल असलेली समानता हे समीकरण असते.

ही निष्कर्षे समीकरणांसाठी देखील वैध आहेत, कारण प्रत्येक समीकरणात चल फक्त एक संख्या दर्शवते.

बर्याचदा समीकरण हे तोल कप्प्यासारखे असते असे म्हटले जाते. समीकरणावर गणितीय क्रिया करणे म्हणजे तोल कप्प्याच्या पात्रांमध्ये वजने मिळवणे किंवा काढून टाकणे.

समीकरण हे समान वजन असलेल्या दोन्ही पात्रांसह एक तोल कप्प्यासारखे असते, अशा परिस्थितीत तोल कप्प्याचा हात अगदी आडवा असतो. जर आपण दोन्ही पात्रांमध्ये समान वजने मिळवली, तर हात आडवा राहतो. त्याचप्रमाणे, जर आपण दोन्ही पात्रांमधून समान वजने काढली, तर हात आडवा राहतो. दुसरीकडे जर आपण पात्रांमध्ये वेगवेगळी वजने मिळवली किंवा त्यातून वेगवेगळी वजने काढली, तर तोल कप्पा झुकतो; म्हणजेच, तोल कप्प्याचा हात आडवा राहत नाही.

आपण हे तत्त्व समीकरण सोडवण्यासाठी वापरतो. येथे, अर्थातच,

तोल कप्पा काल्पनिक आहे आणि संख्या वजन म्हणून वापरली जाऊ शकतात जी भौतिकदृष्ट्या एकमेकांविरुद्ध संतुलित केली जाऊ शकतात. हे तत्त्व सादर करण्याचा हाच खरा हेतू आहे. चला काही उदाहरणे घेऊ.

• समीकरण विचारात घ्या: $x+3=8$

आपण या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंमधून ३ वजा करू.

नवीन LHS $\quad x+3-3=x$ आहे आणि नवीन RHS $8-3=5$ आहे

हे संतुलन बिघडवत नसल्यामुळे, आपल्याकडे आहे

$$ \text{ New LHS = New RHS } $$

आपण ३ का वजा करावे, आणि काही अन्य संख्या का नाही? ३ मिळवण्याचा प्रयत्न करा. ते मदत करेल का? का नाही? याचे कारण असे आहे की ३ वजा केल्याने LHS $x$ पर्यंत कमी होते.

किंवा

$ x=5 $

जे आपल्याला हवे आहे तेच आहे, समीकरण (४.६) चे निरसन.

आपण बरोबर आहोत की नाही हे सत्यापित करण्यासाठी, आपण $x=5$ मूळ समीकरणात ठेवू. आपल्याला LHS $=x+3=5+3=8$ मिळते, जे आवश्यकतेप्रमाणे RHS च्या समान आहे.

समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंवर योग्य गणितीय क्रिया (म्हणजे ३ वजा करणे) करून, आपण समीकरणाच्या निरसनापर्यंत पोहोचलो.

• आता दुसरे समीकरण पाहू

$$ \begin{equation*} x-3=10 \tag{4.7} \end{equation*} $$

येथे आपण काय करावे? आपण