4.1 మైండ్ రీడింగ్ గేమ్!

గణితంలో కొత్త అధ్యాయాన్ని ప్రారంభిస్తానని టీచర్ చెప్పారు మరియు అది సాధారణ సమీకరణాలు అవుతుంది. ఆల్జీబ్రా అధ్యాయంలో క్లాస్ VIలో నేర్చుకున్న దాన్ని అప్పు, సరిత మరియు అమీనా రివైజ్ చేశారు. మీరు చేశారా? అప్పు, సరిత మరియు అమీనా ఉత్సాహంగా ఉన్నారు ఎందుకంటే వారు ఒక గేమ్ను నిర్మించారు, దాన్ని వారు మైండ్ రీడర్ అని పిలుస్తారు మరియు దాన్ని మొత్తం క్లాస్కు ప్రదర్శించాలనుకుంటున్నారు.

టీచర్ వారి ఉత్సాహాన్ని ప్రశంసించి, వారి గేమ్ను ప్రదర్శించమని ఆహ్వానించారు. అమీనా ప్రారంభిస్తుంది; ఆమె సారాను ఒక సంఖ్య ఆలోచించమని, దాన్ని 4తో గుణించమని మరియు లబ్ధానికి 5 కలపమని అడుగుతుంది. తర్వాత, ఆమె సారాను ఫలితం చెప్పమని అడుగుతుంది. అది 65 అని ఆమె చెప్పింది. అమీనా తక్షణమే సారా ఆలోచించిన సంఖ్య 15 అని ప్రకటిస్తుంది. సారా అవును అని తల ఊపుతుంది. సారా సహా మొత్తం క్లాస్ ఆశ్చర్యపోతుంది.

ఇప్పుడు అప్పు వంతు. అతను బాలును ఒక సంఖ్య ఆలోచించమని, దాన్ని 10తో గుణించమని మరియు లబ్ధం నుండి 20 తీసివేయమని అడుగుతాడు. అప్పుడు అతను బాలును అతని ఫలితం ఏమిటి అని అడుగుతాడు? అది 50 అని బాలు చెప్పాడు. అప్పు తక్షణమే బాలు ఆలోచించిన సంఖ్య చెప్పాడు. అది 7, బాలు దాన్ని నిర్ధారించాడు.

అప్పు, సరిత మరియు అమీనా ప్రదర్శించిన ‘మైండ్ రీడర్’ ఎలా పని చేస్తుందో అందరూ తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నారు. ఇది ఎలా పని చేస్తుందో మీరు చూడగలరా? ఈ అధ్యాయం మరియు అధ్యాయం 12ని అధ్యయనం చేసిన తర్వాత, ఈ గేమ్ ఎలా పని చేస్తుందో మీకు బాగా తెలుస్తుంది.

4.2 ఒక సమీకరణం యొక్క ఏర్పాటు

అమీనా ఉదాహరణను తీసుకుందాం. అమీనా సారాను ఒక సంఖ్య ఆలోచించమని అడుగుతుంది. ఆ సంఖ్య అమీనాకు తెలియదు. ఆమెకు, అది ఏదైనా కావచ్చు $1,2,3, \ldots, 11, \ldots, 100, \ldots$ ఈ తెలియని సంఖ్యను ఒక అక్షరంతో సూచిద్దాం, ఉదాహరణకు $x$. మీరు $y$ లేదా $t$ లేదా కొన్ని ఇతర అక్షరాలను $x$ స్థానంలో ఉపయోగించవచ్చు. సారా ఆలోచించిన తెలియని సంఖ్యను సూచించడానికి మనం ఏ అక్షరాన్ని ఉపయోగించినా పర్వాలేదు. సారా ఆ సంఖ్యను 4తో గుణించినప్పుడు, ఆమెకు $4 x$ వస్తుంది. ఆపై ఆమె లబ్ధానికి 5 కలుపుతుంది, ఇది $4 x+5$ని ఇస్తుంది. $(4 x+5)$ యొక్క విలువ $x$ యొక్క విలువపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అందువలన $x=1,4 x+5=4 \times 1+5=9$. దీని అర్థం సారా తన మనస్సులో 1 ఉంచుకుంటే, ఆమె ఫలితం 9 అయ్యేది. అదేవిధంగా, ఆమె 5 గురించి ఆలోచించినట్లయితే, $x=5,4 x+5=4 \times 5+5=25$ కోసం; అందువలన సారా 5ని ఎంచుకుంటే, ఫలితం 25 అయ్యేది.

సారా ఆలోచించిన సంఖ్యను కనుగొనడానికి ఆమె సమాధానం 65 నుండి వెనుకకు పని చేద్దాం. మనం $x$ని కనుగొనాలి

$$ \begin{equation*} 4 x+5=65 \tag{4.1} \end{equation*} $$

సమీకరణానికి పరిష్కారం సారా తన మనస్సులో ఉంచుకున్న సంఖ్యను మనకు ఇస్తుంది.

అదేవిధంగా అప్పు ఉదాహరణను చూద్దాం. బాలు ఎంచుకున్న సంఖ్యను y అని పిలుద్దాం. అప్పు బాలును ఆ సంఖ్యను 10తో గుణించమని మరియు లబ్ధం నుండి 20 తీసివేయమని అడుగుతాడు. అంటే, $y$ నుండి, బాలు మొదట $10 y$ పొందుతాడు మరియు అక్కడ నుండి $(10 y-20)$. ఫలితం 50 అని తెలుసు.

అందువలన,

$$ \begin{equation*} 10 y-20=50 \tag{4.2} \end{equation*} $$

ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం బాలు ఆలోచించిన సంఖ్యను మనకు ఇస్తుంది.

4.3 మనం తెలుసుకున్న దాని సమీక్ష

గమనించండి, (4.1) మరియు (4.2) సమీకరణాలు. క్లాస్ VIలో మనం సమీకరణాల గురించి నేర్చుకున్న దాన్ని గుర్తుచేసుకుందాం. ఒక సమీకరణం అనేది ఒక చరరాశిపై ఉన్న ఒక షరతు. సమీకరణం (4.1)లో, చరరాశి $x$; సమీకరణం (4.2)లో, చరరాశి $y$.

చరరాశి అనే పదం మారగలిగేది, అంటే మార్పు చెందేది. ఒక చరరాశి వివిధ సంఖ్యా విలువలను తీసుకుంటుంది; దాని విలువ స్థిరంగా ఉండదు. చరరాశులను సాధారణంగా వర్ణమాల అక్షరాల ద్వారా సూచిస్తారు, ఉదాహరణకు $x, y, z, l, m, n, p$, మొదలైనవి. చరరాశుల నుండి, మనం సమాసాలను ఏర్పరుస్తాము. సమాసాలు చరరాశులపై సంకలనం, వ్యవకలనం, గుణకారం మరియు భాగహారం వంటి కార్యకలాపాలను చేయడం ద్వారా ఏర్పడతాయి. $x$ నుండి, మనం $(4 x+5)$ అనే సమాసాన్ని ఏర్పరచాము. దీని కోసం, మొదట మనం $x$ని 4తో గుణించి, తర్వాత లబ్ధానికి 5 కలిపాము. అదేవిధంగా, $y$ నుండి, మనం $(10 y-20)$ అనే సమాసాన్ని ఏర్పరచాము. దీని కోసం, మనం $y$ని 10తో గుణించి, తర్వాత లబ్ధం నుండి 20 తీసివేసాము. ఇవన్నీ సమాసాల ఉదాహరణలు.

ఈ విధంగా ఏర్పడిన సమాసం యొక్క విలువ ఎంచుకున్న చరరాశి విలువపై ఆధారపడి ఉంటుంది. మనం ఇప్పటికే చూసినట్లుగా, ఎప్పుడు $x=1,4 x+5=9$; ఎప్పుడు $x=5,4 x+5=25$. అదేవిధంగా, ఎప్పుడు

$ \begin{aligned} & x=15,4 x+5=4 \times 15+5=65 \\ & x=0,4 x+5=4 \times 0+5=5 ; \text{ and so on. } \end{aligned} $

ఎప్పుడు

సమీకరణం (4.1) అనేది చరరాశి $x$పై ఒక షరతు. ఇది $(4 x+5)$ అనే సమాసం యొక్క విలువ 65 అని పేర్కొంటుంది. షరతు సంతృప్తి చెందుతుంది ఎప్పుడు $x=15$. ఇది సమీకరణం $4 x+5=65$కి పరిష్కారం. ఎప్పుడు $x=5,4 x+5=25$ మరియు 65 కాదు. అందువలన $x=5$ సమీకరణానికి పరిష్కారం కాదు. అదేవిధంగా, $x=0$ సమీకరణానికి పరిష్కారం కాదు. 15 తప్ప $x$ యొక్క ఏ విలువ కూడా షరతును సంతృప్తి పరచదు $4 x+5=65$.

ప్రయత్నించండి

$(10 y-20)$ అనే సమాసం యొక్క విలువ $y$ యొక్క విలువపై ఆధారపడి ఉంటుంది. $y$కి ఐదు వేర్వేరు విలువలను ఇవ్వడం ద్వారా మరియు ప్రతి $y$ కోసం $(10 y-20)$ యొక్క విలువను కనుగొనడం ద్వారా దీన్ని ధృవీకరించండి. మీరు పొందే $(10 y-20)$ యొక్క వివిధ విలువల నుండి, మీరు $10 y-20=50$కి ఒక పరిష్కారం చూస్తారా? పరిష్కారం లేకపోతే, $y$కి మరిన్ని విలువలను ఇవ్వడానికి ప్రయత్నించండి మరియు షరతు $10 y-20=50$ నెరవేరుతుందో లేదో కనుగొనండి.

4.4 సమీకరణం అంటే ఏమిటి?

ఒక సమీకరణంలో ఎల్లప్పుడూ సమానత్వ చిహ్నం ఉంటుంది. సమానత్వ చిహ్నం చిహ్నం యొక్క ఎడమ వైపు (ఎడమ చేతి వైపు లేదా LHS) ఉన్న సమాసం యొక్క విలువ కుడి వైపు (కుడి చేతి వైపు లేదా RHS) ఉన్న సమాసం యొక్క విలువకు సమానం అని చూపిస్తుంది. సమీకరణం (4.1)లో, LHS $(4 x+5)$ మరియు RHS 65. సమీకరణం (4.2)లో, LHS $(10 y-20)$ మరియు RHS 50.

LHS మరియు RHS మధ్య సమానత్వ చిహ్నం కాకుండా వేరే ఏదైనా చిహ్నం ఉంటే, అది సమీకరణం కాదు. అందువలన, $4 x+5>65$ సమీకరణం కాదు.

ఇది చెప్పింది, $(4 x+5)$ యొక్క విలువ 65 కంటే ఎక్కువ.

అదేవిధంగా, $4 x+5<65$ సమీకరణం కాదు. ఇది చెప్పింది $(4 x+5)$ యొక్క విలువ 65 కంటే తక్కువ.

సమీకరణాలలో, RHS కేవలం ఒక సంఖ్య అని మనం తరచుగా చూస్తాము. సమీకరణం (4.1)లో, అది 65 మరియు సమీకరణం (4.2)లో, అది 50. కానీ ఇది ఎల్లప్పుడూ అలా ఉండవలసిన అవసరం లేదు. ఒక సమీకరణం యొక్క RHS చరరాశిని కలిగి ఉన్న సమాసం కావచ్చు. ఉదాహరణకు, సమీకరణం

$ 4 x+5=6 x-25 $

సమానత్వ చిహ్నం యొక్క ఎడమ వైపున $(4 x+5)$ మరియు కుడి వైపున $(6 x-25)$ సమాసాన్ని కలిగి ఉంది.

సంక్షిప్తంగా, ఒక సమీకరణం అనేది ఒక చరరాశిపై ఉన్న ఒక షరతు. షరతు ఏమిటంటే రెండు సమాసాలు సమాన విలువను కలిగి ఉండాలి. రెండు సమాసాలలో కనీసం ఒకటి చరరాశిని కలిగి ఉండాలని గమనించండి.

మేము సమీకరణాల యొక్క ఒక సరళమైన మరియు ఉపయోగకరమైన లక్షణాన్ని కూడా గమనించాము. సమీకరణం $4 x+5=65$ అనేది $65=4 x+5$ వలె సమానం. అదేవిధంగా, సమీకరణం $6 x-25=4 x+5$ అనేది $4 x+5=6 x-25$ వలె సమానం. ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉన్న సమాసాలు పరస్పరం మార్చబడినప్పుడు, ఒక సమీకరణం అలాగే ఉంటుంది. సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో ఈ లక్షణం తరచుగా ఉపయోగపడుతుంది.

ఉదాహరణ 1 కింది ప్రకటనలను సమీకరణ రూపంలో వ్రాయండి:

(i) మూడు రెట్లు $x$ మరియు 11 యొక్క మొత్తం 32.

(ii) మీరు ఒక సంఖ్య యొక్క 6 రెట్లు నుండి 5 తీసివేస్తే, మీకు 7 వస్తుంది.

(iii) $m$లో నాలుగో వంతు 7 కంటే 3 ఎక్కువ.

(iv) ఒక సంఖ్యలో మూడో వంతు ప్లస్ 5 అనేది 8.

పరిష్కారం

(i) మూడు రెట్లు $x$ అనేది $3 x$.

$3 x$ మరియు 11 యొక్క మొత్తం $3 x+11$. మొత్తం 32.

సమీకరణం $3 x+11=32$.

(ii) సంఖ్య $z ; z$ అని చెప్పండి, దీన్ని 6తో గుణించినప్పుడు $6 z$.

$6 z$ నుండి 5 తీసివేస్తే, ఒకరికి $6 z-5$ వస్తుంది. ఫలితం 7.

సమీకరణం $6 z-5=7$ (iii) $m$లో నాలుగో వంతు $\frac{m}{4}$.

ఇది 7 కంటే 3 ఎక్కువ. దీని అర్థం భేదం $(\frac{m}{4}-7)$ 3.

సమీకరణం $\frac{m}{4}-7=3$.

(iv) సంఖ్యను $n$గా తీసుకోండి. $n$లో మూడో వంతు $\frac{n}{3}$.

ఈ మూడో వంతు ప్లస్ 5 $\frac{n}{3}+5$. ఇది 8.

సమీకరణం $\frac{n}{3}+5=8$.

ఉదాహరణ 2 కింది సమీకరణాలను ప్రకటన రూపంలోకి మార్చండి:

(i) $x-5=9$

(ii) $5 p=20$

(iii) $3 n+7=1$

(iv) $\frac{m}{5}-2=6$

పరిష్కారం

(i) $x$ నుండి 5ని తీసివేయడం 9ని ఇస్తుంది.

(ii) ఒక సంఖ్య యొక్క ఐదు రెట్లు $p$ అనేది 20.

(iii) 1 పొందడానికి మూడు రెట్లు $n$కి 7 కలపండి.

(iv) మీరు ఒక సంఖ్య యొక్క ఐదో వంతు నుండి 2 తీసివేసినప్పుడు, మీకు 6 వస్తుంది $m$.

గమనించవలసిన ముఖ్యమైన విషయం ఏమిటంటే, ఇచ్చిన సమీకరణం కోసం, ఒకటి మాత్రమే కాకుండా, అనేక ప్రకటన రూపాలు ఇవ్వబడతాయి. ఉదాహరణకు, పై సమీకరణం (i) కోసం, మీరు చెప్పవచ్చు:

ప్రయత్నించండి

ప్రతి సమీకరణం (ii), (iii) మరియు (iv) కోసం కనీసం ఒక ఇతర రూపాన్ని వ్రాయండి.

$x$ నుండి 5 తీసివేయండి, మీకు 9 వస్తుంది.

లేదా సంఖ్య $x$ 5 కంటే 9 ఎక్కువ.

లేదా సంఖ్య $x$ 5 కంటే 9 ఎక్కువ.

లేదా $x$ మరియు 5 మధ్య భేదం 9, మరియు మొదలైనవి.

ఉదాహరణ 3 కింది పరిస్థితిని పరిగణించండి:

రాజు తండ్రి వయస్సు రాజు వయస్సు కంటే 5 సంవత్సరాలు ఎక్కువ మూడు రెట్లు. రాజు తండ్రి వయస్సు 44 సంవత్సరాలు. రాజు వయస్సును కనుగొనడానికి ఒక సమీకరణాన్ని ఏర్పాటు చేయండి.

పరిష్కారం

రాజు వయస్సు మనకు తెలియదు. దానిని $y$ సంవత్సరాలుగా తీసుకుందాం. రాజు వయస్సు మూడు రెట్లు $3 y$ సంవత్సరాలు. రాజు తండ్రి వయస్సు $3 y$ కంటే 5 సంవత్సరాలు ఎక్కువ; అంటే, రాజు తండ్రి $(3 y+5)$ సంవత్సరాలు. రాజు తండ్రి వయస్సు 44 సంవత్సరాలు అని కూడా ఇవ్వబడింది.

అందువలన,

$$ \begin{equation*} 3 y+5=44 \tag{4.3} \end{equation*} $$

ఇది $y$లో ఒక సమీకరణం. ఇది పరిష్కరించబడినప్పుడు రాజు వయస్సును ఇస్తుంది.

ఉదాహరణ 4 ఒక దుకాణదారుడు మామిడి పండ్లను రెండు రకాల పెట్టెలలో విక్రయిస్తాడు, ఒక చిన్నది మరియు ఒక పెద్దది. ఒక పెద్ద పెట్టెలో 8 చిన్న పెట్టెలు ప్లస్ 4 వదులుగా ఉన్న మామిడి పండ్లు ఉంటాయి. ప్రతి చిన్న పెట్టెలో ఉన్న మామిడి పండ్ల సంఖ్యను ఇచ్చే సమీకరణాన్ని ఏర్పాటు చేయండి. ఒక పెద్ద పెట్టెలో ఉన్న మామిడి పండ్ల సంఖ్య 100 అని ఇవ్వబడింది.

పరిష్కారం

ఒక చిన్న పెట్టెలో $m$ మామిడి పండ్లు ఉండనివ్వండి. ఒక పెద్ద పెట్టెలో $m$ కంటే 8 రెట్లు 4 ఎక్కువ ఉంటుంది, అంటే, $8 m+4$ మామిడి పండ్లు. కానీ ఇది 100 అని ఇవ్వబడింది. అందువలన

$$ \begin{equation*} 8 m+4=100 \tag{4.4} \end{equation*} $$

ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ద్వారా మీరు ఒక చిన్న పెట్టెలో ఉన్న మామిడి పండ్ల సంఖ్యను పొందవచ్చు.

వ్యాయామం 4.1

1. పట్టిక యొక్క చివరి కాలమ్ను పూర్తి చేయండి.

2. బ్రాకెట్లలో ఇవ్వబడిన విలువ ఇచ్చిన సమీకరణానికి పరిష్కారం అవుతుందో లేదో తనిఖీ చేయండి:

(a) $n+5=19(n=1)$

(b) $7 n+5=19(n=-2)$

(c) $7 n+5=19(n=2)$

(d) $4 p-3=13(p=1)$

(e) $4 p-3=13(p=-4)$

(f) $4 p-3=13(p=0)$

3. ట్రయల్ మరియు ఎర్రర్ పద్ధతి ద్వారా కింది సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

(i) $5 p+2=17$

(ii) $3 m-14=4$

4. కింది ప్రకటనల కోసం సమీకరణాలు వ్రాయండి:

(i) సంఖ్యల మొత్తం $x$ మరియు 4 అనేది 9.

(ii) $y$ నుండి 2 తీసివేయబడింది అనేది 8.

(iii) పది రెట్లు $a$ అనేది 70.

(iv) సంఖ్య $b$ని 5తో భాగించినప్పుడు 6 ఇస్తుంది.

(v) $t$లో మూడు-నాలుగో వంతు 15.

(vi) ఏడు రెట్లు $m$ ప్లస్ 7 మీకు 77ని ఇస్తుంది.

(vii) ఒక సంఖ్య యొక్క నాలుగో వంతు $x$ మైనస్ 4 4ని ఇస్తుంది.

(viii) మీరు 6 రెట్లు $y$ నుండి 6 తీసివేస్తే, మీకు 60 వస్తుంది.

(ix) మీరు $z$లో మూడో వంతుకు 3 కలిపితే, మీకు 30 వస్తుంది.

5. కింది సమీకరణాలను ప్రకటన రూపాలలో వ్రాయండి:

(i) $p+4=15$

(ii) $m-7=3$

(iii) $2 m=7$

(iv) $\frac{m}{5}=3$

(v) $\frac{3 m}{5}=6$

(vi) $3 p+4=25$

(vii) $4 p-2=18$

(viii) $\frac{p}{2}+2=8$

6. కింది సందర్భాలలో ఒక సమీకరణాన్ని ఏర్పాటు చేయండి:

(i) ఇర్ఫాన్ తన వద్ద పర్మిత్ వద్ద ఉన్న గోళీల కంటే ఐదు రెట్లు 7 గోళీలు ఎక్కువ ఉన్నాయని చెప్పాడు. ఇర్ఫాన్ వద్ద 37 గోళీలు ఉన్నాయి. (పర్మిత్ గోళీల సంఖ్య $m$గా తీసుకోండి.)

(ii) లక్ష్మి తండ్రి వయస్సు 49 సంవత్సరాలు. అతను లక్ష్మి వయస్సు కంటే 4 సంవత్సరాలు ఎక్కువ మూడు రెట్లు. (లక్ష్మి వయస్సును $y$ సంవత్సరాలుగా తీసుకోండి.)

(iii) టీచర్ తన క్లాస్లో ఒక విద్యార్థి పొందిన అత్యధిక మార్కులు అత్యల్ప మార్కుల కంటే రెండు రెట్లు ప్లస్ 7 అని క్లాస్కు చెప్పారు. అత్యధిక స్కోరు 87. (అత్యల్ప స్కోరును $l$గా తీసుకోండి.)

(iv) ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజంలో, శీర్ష కోణం ఏదైనా భూమి కోణం కంటే రెట్టింపు. (భూమి కోణాన్ని $b$ డిగ్రీలలో ఉండనివ్వండి. త్రిభుజం కోణాల మొత్తం 180 డిగ్రీలు అని గుర్తుంచుకోండి).

4.4.1 ఒక సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం

సమానత్వాన్ని పరిగణించండి $\quad 8-3=4+1$

సమానత్వం (4.5) ఉంటుంది, ఎందుకంటే దాని రెండు వైపులా సమానంగా ఉంటాయి (ప్రతి ఒక్కటి 5కి సమానం).

• ఇప్పుడు రెండు వైపులా 2ని కలుపుదాం; ఫలితంగా

LHS $=8-3+2=5+2=7 \quad$ RHS $=4+1+2=5+2=7$.

మళ్ళీ సమానత్వం ఉంటుంది (అంటే, దాని LHS మరియు RHS సమానం).

అందువలన మనం ఒక సమానత్వం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్యను కలిపినా, అది