13.1 પરિચય: સમતલ આકૃતિઓ અને ઘન આકારો

આ પ્રકરણમાં, તમે જે આકૃતિઓ જોઈ છે તેમને પરિમાણના સંદર્ભમાં વર્ગીકૃત કરશો.

આપણા રોજબરોજના જીવનમાં, આપણે આપણી આસપાસ પુસ્તકો, દડા, આઇસ્ક્રીમ કોન વગેરે જેવી અનેક વસ્તુઓ જોઈએ છીએ જેમના જુદા જુદા આકારો હોય છે. આમાંથી મોટાભાગની વસ્તુઓ વિશે એક સામાન્ય વાત એ છે કે તે બધીમાં કેટલીક લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ અથવા ઊંડાઈ હોય છે.

એટલે કે, તે બધી જગ્યા રોકે છે અને ત્રણ પરિમાણો ધરાવે છે.

આથી, તેમને ત્રિપરિમાણી આકારો કહેવામાં આવે છે.

શું તમને યાદ છે કેટલાક ત્રિપરિમાણી આકારો (એટલે કે, ઘન આકારો) જે આપણે અગાઉની ધોરણોમાં જોયા છે?

આ કરો

આમાંથી દરેક જેવા આકાર ધરાવતી કેટલીક વસ્તુઓ ઓળખવાનો પ્રયત્ન કરો.

સમાન દલીલ દ્વારા, આપણે કહી શકીએ કે કાગળ પર દોરવામાં આવેલી આકૃતિઓ જેમાં ફક્ત લંબાઈ અને પહોળાઈ હોય તેને બે પરિમાણી (એટલે કે, સમતલ) આકૃતિઓ કહેવામાં આવે છે. આપણે અગાઉની ધોરણોમાં કેટલીક બે પરિમાણી આકૃતિઓ પણ જોઈ છે.

બે પરિમાણી આકૃતિઓને નામો સાથે જોડો (આકૃતિ 13.2):

નોંધ: આપણે 2-પરિમાણ માટે ટૂંકમાં 2-D અને 3-પરિમાણ માટે ટૂંકમાં 3-D લખી શકીએ.

13.2 પૃષ્ઠો, કિનારીઓ અને શિરોબિંદુઓ

શું તમને ઘન આકારોના પૃષ્ઠો, શિરોબિંદુઓ અને કિનારીઓ યાદ છે, જે તમે અગાઉ અભ્યાસ કર્યા હતા? અહીં તમે તેમને એક ઘન માટે જોઈ શકો છો:

ઘનના 8 ખૂણાઓ તેના શિરોબિંદુઓ છે. 12 રેખાખંડો જે ઘનનું હાડપિંજર બનાવે છે તે તેની કિનારીઓ છે. 6 સપાટ ચોરસ સપાટીઓ જે ઘનની ત્વચા છે તે તેના પૃષ્ઠો છે.

આ કરો

નીચેનું કોષ્ટક પૂર્ણ કરો:

શું તમે જોઈ શકો છો કે, બે પરિમાણી આકૃતિઓને ત્રિપરિમાણી આકારોના પૃષ્ઠો તરીકે ઓળખી શકાય? ઉદાહરણ તરીકે, એક નળાકાર 0 ના બે પૃષ્ઠો છે જે વર્તુળો છે, અને એક પિરામિડ, જે આના જેવો આકાર ધરાવે છે, તેના પૃષ્ઠો ત્રિકોણ તરીકે છે.

હવે આપણે જોઈશું કે આમાંથી કેટલાક 3-D આકારોને 2-D સપાટી પર, એટલે કે, કાગળ પર કેવી રીતે કલ્પના કરી શકાય.

આ કરવા માટે, આપણે ત્રિપરિમાણી વસ્તુઓ સાથે નજીકથી પરિચિત થવા માંગીએ છીએ. ચાલો નેટ તરીકે ઓળખાતી બનાવીને આ વસ્તુઓ બનાવવાનો પ્રયત્ન કરીએ.

13.3 3-D આકારો બનાવવા માટે નેટ

એક કાર્ડબોર્ડનો ડબ્બો લો. ડબ્બાને સપાટ પાથરવા માટે તેની કિનારીઓ કાપો. હવે તમારી પાસે તે ડબ્બા માટે એક નેટ છે. નેટ એ 2-D માં એક પ્રકારનું હાડપિંજર-રૂપરેખા છે [આકૃતિ 13.4 (i)], જેને, જ્યારે ફોલ્ડ કરવામાં આવે છે [આકૃતિ 13.4 (ii)], ત્યારે 3-D આકારમાં પરિણમે છે [આકૃતિ 13.4 (iii)].

અહીં તમે કિનારીઓને યોગ્ય રીતે અલગ કરીને એક નેટ મેળવી. શું વિપરીત પ્રક્રિયા શક્ય છે?

અહીં એક ડબ્બા માટે નેટની રચના છે (આકૃતિ 13.5). નેટની વિસ્તૃત આવૃત્તિની નકલ કરો અને યોગ્ય રીતે ફોલ્ડ કરીને અને એકસાથે ચોંટાડીને ડબ્બો બનાવવાનો પ્રયત્ન કરો. (તમે યોગ્ય એકમોનો ઉપયોગ કરી શકો છો). ડબ્બો એક ઘન છે. તે ઘનાકારના આકારની 3-D વસ્તુ છે.

તેવી જ રીતે, તમે તેની ત્રાંસી સપાટી સાથે એક ચીરો કાપીને શંકુ માટે નેટ મેળવી શકો છો (આકૃતિ 13.6).

વિવિધ આકારો માટે તમારી પાસે વિવિધ નેટ હોય છે. આપેલ નેટની વિસ્તૃત આવૃત્તિઓની નકલ કરો (આકૃતિ 13.7) અને સૂચવેલ 3-D આકારો બનાવવાનો પ્રયત્ન કરો. (તમે કાર્ડબોર્ડની પટ્ટીઓનો ઉપયોગ કરીને કાગળના ક્લિપ્સથી જોડીને હાડપિંજર મોડલ પણ તૈયાર કરવાનું પસંદ કરી શકો છો).

આપણે ગીઝા (ઇજિપ્ત)માં ગ્રેટ પિરામિડ જેવો પિરામિડ બનાવવા માટે નેટ બનાવવાનો પણ પ્રયત્ન કરી શકીએ (આકૃતિ 13.8). તે પિરામિડનો આધાર ચોરસ છે અને ચાર બાજુઓ પર ત્રિકોણ છે.

જુઓ કે શું તમે આપેલ નેટ સાથે તે બનાવી શકો છો (આકૃતિ 13.9).

આ કરો

અહીં તમને ચાર નેટ મળે છે (આકૃતિ 13.10). તેમાંથી ટેટ્રાહેડ્રોન બનાવવા માટે બે સાચી નેટ છે. જુઓ કે તમે કામ કરી શકો છો કે કઈ નેટ ટેટ્રાહેડ્રોન બનાવશે.

કસરત 13.1

1. નેટ ઓળખો જેનો ઉપયોગ ઘન બનાવવા માટે થઈ શકે (નેટની નકલો કાપીને પ્રયત્ન કરો):

2. ડાઇસ એ ઘન છે જેના દરેક પૃષ્ઠ પર બિંદુઓ હોય છે. ડાઇસના વિરુદ્ધ પૃષ્ઠો પર હંમેશા કુલ સાત બિંદુઓ હોય છે.

અહીં ડાઇસ (ઘન) બનાવવા માટે બે નેટ છે; દરેક ચોરસમાં દાખલ કરેલી સંખ્યાઓ તે બોક્સમાં બિંદુઓની સંખ્યા દર્શાવે છે.

યાદ રાખીને કે વિરુદ્ધ પૃષ્ઠો પરની સંખ્યાનો સરવાળો 7 થવો જોઈએ, ખાલી જગ્યાઓમાં યોગ્ય સંખ્યાઓ દાખલ કરો.

3. શું આ ડાઇસ માટે નેટ હોઈ શકે?

તમારો જવાબ સમજાવો.

4. અહીં ઘન બનાવવા માટે એક અપૂર્ણ નેટ છે. તેને ઓછામાં ઓછી બે જુદી જુદી રીતે પૂર્ણ કરો. યાદ રાખો કે ઘનના છ પૃષ્ઠ હોય છે. અહીં નેટમાં કેટલા છે? (બે અલગ આકૃતિઓ આપો. જો તમને ગમે તો, સરળ હેરફેર માટે તમે ચોરસ શીટનો ઉપયોગ કરી શકો છો.)

5. નેટને યોગ્ય ઘન સાથે જોડો:

આ રમત રમો

તમે અને તમારો મિત્ર પીઠબગલમાં બેસો. તમારામાંથી એક 3-D આકાર બનાવવા માટે નેટ વાંચે છે, જ્યારે બીજો તેની નકલ કરવાનો અને વર્ણવેલ 3-D વસ્તુનો સ્કેચ બનાવવાનો અથવા બનાવવાનો પ્રયત્ન કરે છે.

13.4 સપાટ સપાટી પર ઘન દોરવા

તમારી દોરવાની સપાટી કાગળ છે, જે સપાટ છે. જ્યારે તમે ઘન આકાર દોરો છો, ત્યારે છબીઓ ત્રિપરિમાણી દેખાવા માટે કંઈક અંશે વિકૃત થાય છે. તે એક દ્રશ્ય ભ્રમ છે. તમને અહીં મદદ કરવા માટે બે તકનીકો મળશે.

13.4.1 ત્રાંસા સ્કેચ

અહીં એક ઘનની ચિત્ર છે (આકૃતિ 13.11). તે સ્પષ્ટ ખ્યાલ આપે છે કે જ્યારે સામેની બાજુથી જોવામાં આવે ત્યારે ઘન કેવો દેખાય છે. તમે કેટલીક સપાટીઓ જોતા નથી. દોરેલા ચિત્રમાં, લંબાઈ

સમાન નથી, જેમ કે ઘનમાં હોવી જોઈએ. છતાં, તમે તેને ઘન તરીકે ઓળખવામાં સક્ષમ છો. ઘનના આવા સ્કેચને ત્રાંસો સ્કેચ કહેવામાં આવે છે.

તમે આવા સ્કેચ કેવી રીતે દોરી શકો છો? ચાલો તકનીક શીખવાનો પ્રયત્ન કરીએ.

તમારે ચોરસ (રેખાઓ અથવા બિંદુઓ) કાગળની જરૂર છે. શરૂઆતમાં આ શીટ પર દોરવાનો અભ્યાસ કરવાથી પછીથી તેને સાદી શીટ પર (ચોરસ રેખાઓ અથવા બિંદુઓની સહાય વિના!) સ્કેચ કરવાનું સરળ બનશે. ચાલો $3 \times 3 \times 3$ (દરેક કિનારી 3 એકમ) ઘન (આકૃતિ 13.12) નો ત્રાંસો સ્કેચ દોરવાનો પ્રયત્ન કરીએ.

ઉપરના ત્રાંસા સ્કેચમાં, શું તમે નીચેની બાબતો નોંધી?

(i) આગળના પૃષ્ઠો અને તેના વિરુદ્ધના પૃષ્ઠોના કદ સમાન છે; અને

(ii) કિનારીઓ, જે ઘનમાં બધી સમાન હોય છે, સ્કેચમાં તેવી જ દેખાય છે, જોકે કિનારીઓના વાસ્તવિક માપ એવા લેવામાં આવ્યા નથી.

હવે તમે ઘનાકાર (યાદ રાખો કે આ કિસ્સામાં પૃષ્ઠો લંબચોરસ છે) નો ત્રાંસો સ્કેચ બનાવવાનો પ્રયત્ન કરી શકો છો

નોંધ: તમે એવા સ્કેચ દોરી શકો છો જેમાં માપ પણ આપેલ ઘનના માપ સાથે સંમત થાય. આ કરવા માટે આપણને આઇસોમેટ્રિક શીટ તરીકે ઓળખાતી જરૂર છે. ચાલો પ્રયત્ન કરીએ આપેલ આઇસોમેટ્રિક શીટ પર $4 ~cm$ લંબાઈ, $3 ~cm$ પહોળાઈ અને $3 ~cm$ ઊંચાઈના પરિમાણો સાથે ઘનાકાર બનાવવાનો.

13.4.2 આઇસોમેટ્રિક સ્કેચ

શું તમે આઇસોમેટ્રિક ડોટ શીટ જોઈ છે? (પુસ્તકના અંતે નમૂનો આપેલ છે). આવી શીટ કાગળને બિંદુઓ અથવા રેખાઓથી બનેલા નાના સમબાજુ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. જે સ્કેચમાં માપ પણ ઘનના માપ સાથે સંમત થાય તેવા સ્કેચ દોરવા માટે, આપણે આઇસોમેટ્રિક ડોટ શીટનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. [પાછળના કવર પૃષ્ઠની અંદરની બાજુએ આપેલ છે (3જું કવર પૃષ્ઠ).]

ચાલો $4 \times 3 \times 3$ પરિમાણોના ઘનાકારનો આઇસોમેટ્રિક સ્કેચ દોરવાનો પ્રયત્ન કરીએ (જેનો અર્થ છે કે લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ બનાવતી કિનારીઓ અનુક્રમે 4, 3, 3 એકમ છે) (આકૃતિ 13.13).

નોંધ કરો કે આઇસોમેટ્રિક સ્કેચમાં માપ ચોક્કસ કદના હોય છે;

ઉદાહરણ 1 અહીં ઘનાકારનો ત્રાંસો સ્કેચ છે [આકૃતિ 13.14(i)]. આ દોરવાની રચના સાથે મેળ ખાતો આઇસોમેટ્રિક સ્કેચ દોરો.

ઉકેલ

અહીં ઉકેલ છે [આકૃતિ 13.14(ii)]. નોંધ કરો કે માપની કેવી રીતે કાળજી લેવામાં આવી છે.

તમે (i) ‘લંબાઈ’ સાથે કેટલા એકમ લીધા છે? (ii) ‘પહોળાઈ’? (iii) ‘ઊંચાઈ’? શું તે ત્રાંસા સ્કેચમાં ઉલ્લેખિત એકમો સાથે મેળ ખાય છે?

કસરત 13.2

1. આઇસોમેટ્રિક ડોટ પેપરનો ઉપયોગ કરો અને આપેલ દરેક આકાર માટે આઇસોમેટ્રિક સ્કેચ બનાવો:

2. ઘનાકારના પરિમાણો $5 ~cm, 3 ~cm$ અને $2 ~cm$ છે. આ ઘનાકારના ત્રણ જુદા જુદા આઇસોમેટ્રિક સ્કેચ દોરો.

3. દરેક $2 ~cm$ કિનારીવાળા ત્રણ ઘન એકબીજા બાજુમાં મૂકવામાં આવે છે જેથી ઘનાકાર બને. આ ઘનાકારનો ત્રાંસો અથવા આઇસોમેટ્રિક સ્કેચ બનાવો.

4. આપેલ દરેક આઇસોમેટ્રિક આકાર માટે ત્રાંસો સ્કેચ બનાવો:

5. નીચેનામાંથી દરેક માટે (i) ત્રાંસો સ્કેચ અને (ii) આઇસોમેટ્રિક સ્કેચ આપો:

(a) $5 ~cm, 3 ~cm$ અને $2 ~cm$ પરિમાણોવાળો ઘનાકાર. (શું તમારો સ્કેચ અનન્ય છે?)

(b) $4 ~cm$ લાંબી કિનારીવાળો ઘન.

પુસ્તકના અંતે આઇસોમેટ્રિક શીટ જોડેલી છે. તમે તમારા મિત્ર દ્વારા સ્પષ્ટ કરેલ પરિમાણોના કેટલાક ઘન અથવા ઘનાકાર તેના પર બનાવવાનો પ્રયત્ન કરી શકો છો.

13.4.3 ઘન વસ્તુઓનું વિઝ્યુઅલાઇઝિંગ

આ કરો

કેટલીકવાર જ્યારે તમે સંયુક્ત આકારો જુઓ છો, ત્યારે તેમાંથી કેટલાક તમારા દૃશ્યમાંથી છુપાયેલા હોઈ શકે છે.

અહીં કેટલીક પ્રવૃત્તિઓ છે જે તમે તમારા ફાજલ સમયમાં કરી શકો છો જે તમને કેટલીક ઘન વસ્તુઓ અને તે કેવી દેખાય છે તેની કલ્પના કરવામાં મદદ કરે. કેટલાક ઘન લો અને તેમને આકૃતિ 13.16 માં બતાવ્યા પ્રમાણે ગોઠવો.

હવે તમારા મિત્રને અનુમાન કરવા કહો કે તીરની નિશાની દ્વારા બતાવેલ દૃશ્ય પરથી જોવામાં આવે ત્યારે ત્યાં કેટલા ઘન છે.

આ કરો

નીચેની ગોઠવણીમાં ઘનની સંખ્યાનું અનુમાન કરવાનો પ્રયત્ન કરો (આકૃતિ 13.17).

આવું વિઝ્યુઅલાઇઝિંગ ખૂબ જ ઉપયોગી છે. ધારો કે તમે આવા ઘનને જોડીને ઘનાકાર બનાવો છો. તમે અનુમાન લગાવી શકશો કે ઘનાકારની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ શું હશે.

ઉદાહરણ 2 જો $2 ~cm$ દ્વારા $2 ~cm$ દ્વારા $2 ~cm$ પરિમાણોવાળા બે ઘન એકબીજા બાજુમાં મૂકવામાં આવે, તો પરિણામી ઘનાકારના પરિમાણો શું હશે?

ઉકેલ

જેમ તમે જોઈ શકો છો (આકૃતિ 13.18) જ્યારે બાજુમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે લંબાઈ એ એકમાત્ર માપ છે જે વધે છે, તે $2+2=4 ~cm$ બને છે.

પહોળાઈ $=2 ~cm$ અને ઊંચાઈ $=2 ~cm$.

આ કરો

આકૃતિ 13.19

1. બે ડાઇસ બાજુમાં બાજુમાં મૂકવામાં આવે છે જેમ બતાવ્યા પ્રમાણે: શું તમે કહી શકો છો કે

(a) $5+6$

(b) $4+3$

(યાદ રાખો કે ડાઇસમાં વિરુદ્ધ પૃષ્ઠો પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો 7 છે)

2. દરેક $2 ~cm$ કિનારીવાળા ત્રણ ઘન એકબીજા બાજુમાં મૂકવામાં આવે છે જેથી ઘનાકાર બને. ત્રાંસો સ્કેચ બનાવવાનો પ્રયત્ન કરો અને કહો કે તેની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ શું હોઈ શકે.

13.5 ઘનના વિવિધ વિભાગો જોવા

હવે ચાલો જોઈએ કે 3-D માં રહેલી વસ્તુને કેવી રીતે વિવિધ રીતે જોઈ શકાય.

13.5.1 વસ્તુ જોવાની એક રીત છે કાપવા અથવા સ્લાઇસિંગ દ્વારા સ્લાઇસિંગ રમત

અહીં બ્રેડનો એક લોફ છે (આકૃતિ 13.20). તે ચોરસ પૃષ્ઠવાળા ઘનાકાર જેવો છે. તમે તેને છરી સાથે ‘સ્લાઇસ’ કરો.

આકૃતિ 13.20

જ્યારે તમે ‘ઊભો’ કાપો આપો છો, ત્યારે તમને આકૃતિ 13.20 માં બતાવ્યા પ્રમાણે ઘણા ટુકડા મળે છે. ટુકડાનું દરેક પૃષ્ઠ ચોરસ છે! આપણે આ પૃષ્ઠને સમગ્ર બ્રેડનો ‘ક્રોસ-સેક્શન’ કહીએ છીએ. આ કિસ્સામાં ક્રોસ સેક્શન લગભગ ચોરસ છે.

સાવધાન! જો તમારો કાપો ‘ઊભો’ ન હોય તો તમને જુદું ક્રોસ સેક્શન મળી શકે! તે વિશે વિચારો. તમે મેળવેલા ક્રોસ-સેક્શનની સીમા એક સમતલ વક્ર છે. શું તમે તે નોંધો છો?

રસોડાની રમત

શું તમે રસોડામાં રાંધણી હેતુઓ માટે કાપવામાં આવે ત્યારે કેટલાક શાકભાજીના ક્રોસ-સેક્શન નોંધ્યા છે? વિવિધ સ્લાઇસનું અવલોકન કરો અને ક્રોસ-સેક્શન તરીકે પરિણમતા આકારો વિશે જાગૃત થાઓ.

આ રમો

નીચેના ઘનના માટી (અથવા પ્લાસ્ટીસીન) મોડલ બનાવો અને ઊભા અથવા આડા કાપા આપો.

તમે મેળવેલા ક્રોસ-સેક્શનના રફ સ્કેચ દોરો. જ્યાં શક્ય હોય ત્યાં તેમને નામ આપો.

આકૃતિ 13.21

કસરત 13.3

1. જ્યારે તમે આપો છો ત્યારે તમને કયા ક્રોસ-સેક્શન મળે છે

(i) ઊભો કાપો $\qquad$ (ii) આડો કાપો

નીચેના ઘનને?

(a) ઈંટ $\qquad$ (b) ગોળાકાર સફરજન $\qquad$ (c) ડાઇસ

(d) ગોળાકાર પાઈપ $\qquad$ (e) આઇસ્ક્રીમ કોન