१३.१ परिचय: समतल आकृत्या आणि घन आकार

या अध्यायात, तुम्ही पाहिलेल्या आकृत्या आयाम या संकल्पनेच्या आधारे वर्गीकृत कराल.

आपल्या दैनंदिन जीवनात, आपल्या आजूबाजूला पुस्तके, चेंडू, आईस्क्रीम कोन इत्यादी अनेक वस्तू दिसतात ज्यांचे वेगवेगळे आकार असतात. यापैकी बहुतेक वस्तूंमध्ये एक सामाईक गोष्ट म्हणजे त्यांना काही लांबी, रुंदी आणि उंची किंवा खोली असते.

म्हणजेच, त्या सर्व जागा व्यापतात आणि तीन आयाम असतात.

म्हणूनच त्यांना त्रिमितीय आकार म्हणतात.

मागील इयत्तांमध्ये आपण पाहिलेले काही त्रिमितीय आकार (म्हणजेच घन आकार) तुम्हाला आठवतात का?

हे करून पहा

या प्रत्येकासारखे काही वस्तू ओळखण्याचा प्रयत्न करा.

तत्सम तर्काने, आपण असे म्हणू शकतो की कागदावर काढलेल्या आकृत्या ज्यांना फक्त लांबी आणि रुंदी असते त्यांना द्विमितीय (म्हणजेच समतल) आकृत्या म्हणतात. मागील इयत्तांमध्ये आपण काही द्विमितीय आकृत्या देखील पाहिल्या आहेत.

द्विमितीय आकृत्या नावांशी जुळवा (आकृती १३.२):

टीप: आपण २-आयामासाठी २-डी आणि ३-आयामासाठी ३-डी असे लहान रूप वापरू शकतो.

१३.२ पृष्ठभाग, कडा आणि शिरोबिंदू

घन आकारांचे पृष्ठभाग, शिरोबिंदू आणि कडा, जे तुम्ही आधी अभ्यासले होते, ते तुम्हाला आठवतात का? येथे तुम्ही त्यांना एका घनासाठी पाहू शकता:

घनाचे ८ कोपरे हे त्याचे शिरोबिंदू आहेत. घनाचा सांगाडा तयार करणारे १२ रेषाखंड हे त्याच्या कडा आहेत. घनाची त्वचा म्हणून असलेले ६ सपाट चौरस पृष्ठभाग हे त्याचे पृष्ठभाग आहेत.

हे करा

खालील सारणी पूर्ण करा:

तुम्ही पाहू शकता की, द्विमितीय आकृत्या त्रिमितीय आकारांचे पृष्ठभाग म्हणून ओळखल्या जाऊ शकतात? उदाहरणार्थ, एका वृत्तचितीला दोन पृष्ठभाग असतात जे वर्तुळे असतात, आणि एका पिरॅमिडला, ज्याचा आकार असा असतो, त्याचे पृष्ठभाग त्रिकोण असतात.

आता आपण हे पाहण्याचा प्रयत्न करू की यापैकी काही ३-डी आकार कागदावर, म्हणजेच द्विमितीय पृष्ठभागावर, कसे दृश्यमान केले जाऊ शकतात.

हे करण्यासाठी, आपण त्रिमितीय वस्तूंशी जवळून परिचित होऊ इच्छितो. निव्वड या म्हणून ओळखल्या जाणाऱ्या गोष्टी बनवून हे आकार तयार करण्याचा प्रयत्न करूया.

१३.३ ३-डी आकार बनवण्यासाठी निव्वड

एक गत्त्याचा डबा घ्या. डबा सपाट ठेवण्यासाठी कडा कापा. आता त्या डब्यासाठी तुमच्याकडे एक निव्वड आहे. निव्वड हा द्विमितीय मध्ये एक प्रकारचा सांगाडा-रूपरेषा आहे [आकृती १३.४ (i)], जी दुमडल्यावर [आकृती १३.४ (ii)], ३-डी आकार तयार करते [आकृती १३.४ (iii)].

येथे तुम्हाला कडा योग्य रीतीने वेगळे करून एक निव्वड मिळाली. उलट प्रक्रिया शक्य आहे का?

येथे एका डब्यासाठी निव्वड नमुना आहे (आकृती १३.५). निव्वडची मोठी प्रत बनवा आणि योग्य रीतीने दुमडून आणि चिकटवून डबा बनवण्याचा प्रयत्न करा. (तुम्ही योग्य एकके वापरू शकता). डबा हा एक घन आहे. तो घनाभाच्या आकाराची ३-डी वस्तू आहे.

त्याचप्रमाणे, तुम्ही त्याच्या तिरप्या पृष्ठभागावर एक चीर कापून शंकूसाठी निव्वड मिळवू शकता (आकृती १३.६).

वेगवेगळ्या आकारांसाठी तुमच्याकडे वेगवेगळ्या निव्वडी असतात. दिलेल्या निव्वडींच्या मोठ्या प्रती कॉपी करा (आकृती १३.७) आणि दर्शविलेले ३-डी आकार बनवण्याचा प्रयत्न करा. (तुम्ही कागदाच्या क्लिप्सने बांधलेल्या गत्त्याच्या पट्ट्या वापरून सांगाडा मॉडेल्स तयार करू शकता).

आपण गिझा (इजिप्त) मधील ग्रेट पिरॅमिडसारखा पिरॅमिड बनवण्यासाठी निव्वड बनवण्याचा देखील प्रयत्न करू शकतो (आकृती १३.८). त्या पिरॅमिडला चौरस पाया आणि चार बाजूंना त्रिकोण असतात.

दिलेल्या निव्वडीने (आकृती १३.९) तुम्ही तो बनवू शकता का ते पहा.

हे करून पहा

येथे तुम्हाला चार निव्वडी सापडतात (आकृती १३.१०). त्यापैकी दोन योग्य निव्वडी टेट्राहेड्रॉन बनवण्यासाठी आहेत. कोणत्या निव्वडी टेट्राहेड्रॉन बनवतील हे तुम्ही काढू शकता का ते पहा.

क्रियाकलाप १३.१

१. कोणत्या निव्वडी घन बनवण्यासाठी वापरल्या जाऊ शकतात ते ओळखा (निव्वडींच्या प्रती कापून प्रयत्न करा):

२. फासे हे घन आहेत ज्यांच्या प्रत्येक पृष्ठभागावर ठिपके असतात. फाशाच्या विरुद्ध पृष्ठभागांवर एकूण सात ठिपके असतात.

येथे फासे (घन) बनवण्यासाठी दोन निव्वडी आहेत; प्रत्येक चौरसात घातलेली संख्या त्या चौरसातील ठिपक्यांची संख्या दर्शवते.

योग्य संख्या रिकाम्या जागेत भरा, हे लक्षात ठेवून की विरुद्ध पृष्ठभागांवरील संख्यांची बेरीज ७ असावी.

३. ही फाशासाठी निव्वड असू शकते का?

तुमचे उत्तर स्पष्ट करा.

४. येथे घन बनवण्यासाठी एक अपूर्ण निव्वड आहे. किमान दोन वेगवेगळ्या प्रकारे ती पूर्ण करा. लक्षात ठेवा की घनाला सहा पृष्ठभाग असतात. येथे निव्वडीमध्ये किती आहेत? (दोन वेगळी आकृत्या द्या. तुम्हाला आवडत असल्यास, सोप्या हाताळणीसाठी तुम्ही चौरस कागद वापरू शकता.)

५. निव्वडी योग्य घनांशी जुळवा:

हे खेळा

तुम्ही आणि तुमचा मित्र पाठीमागे पाठी लावून बसा. तुमपैकी एक ३-डी आकार बनवण्यासाठी निव्वड वाचतो, तर दुसरा ती कॉपी करण्याचा आणि वर्णन केलेली ३-डी वस्तू रेखाटण्याचा किंवा बनवण्याचा प्रयत्न करतो.

१३.४ सपाट पृष्ठभागावर घन रेखाटणे

तुमचा रेखाटण्याचा पृष्ठभाग म्हणजे कागद, जो सपाट असतो. जेव्हा तुम्ही घन आकार रेखाटता, तेव्हा प्रतिमा त्रिमितीय दिसण्यासाठी काहीसे विकृत केल्या जातात. ही एक दृश्य भ्रम आहे. तुम्हाला येथे मदत करण्यासाठी दोन तंत्रे सापडतील.

१३.४.१ तिरपी रेखाचित्रे

येथे एका घनाची आकृती आहे (आकृती १३.११). हे स्पष्ट कल्पना देते की समोरून पाहिल्यावर घन कसा दिसतो. तुम्हाला काही पृष्ठभाग दिसत नाहीत. काढलेल्या आकृतीमध्ये, लांबी

समान नाहीत, जशी घनामध्ये असावीत. तरीही, तुम्ही ते घन म्हणून ओळखू शकता. घनाच्या अशा रेखाचित्राला तिरपे रेखाचित्र म्हणतात.

तुम्ही अशी रेखाचित्रे कशी काढू शकता? तंत्र शिकण्याचा प्रयत्न करूया.

तुम्हाला चौरस (रेषा किंवा ठिपके) कागदाची आवश्यकता आहे. सुरुवातीला या पत्रकांवर रेखाटण्याचा सराव केल्याने नंतर साध्या कागदावर (चौरस रेषा किंवा ठिपक्यांच्या मदतीशिवाय!) रेखाटणे सोपे होईल. $3 \times 3 \times 3$ (प्रत्येक कडा ३ एकक) घनाचे तिरपे रेखाचित्र काढण्याचा प्रयत्न करूया (आकृती १३.१२).

वरील तिरप्या रेखाचित्रात, तुम्ही खालील गोष्टी लक्षात घेतल्या?

(i) समोरच्या पृष्ठभागाचे आकार आणि त्याच्या विरुद्ध पृष्ठभागाचे आकार समान आहेत; आणि

(ii) कडा, ज्या घनामध्ये सर्व समान असतात, त्या रेखाचित्रात अशाच दिसतात, जरी कडांची वास्तविक मापे अशी घेतलेली नसतात.

आता तुम्ही घनाभाचे (लक्षात ठेवा या प्रकरणात पृष्ठभाग आयत आहेत) तिरपे रेखाचित्र काढण्याचा प्रयत्न करू शकता.

टीप: तुम्ही अशी रेखाचित्रे काढू शकता ज्यात मापे दिलेल्या घनाशीही सुसंगत असतात. हे करण्यासाठी आपल्याला सममितीय पत्रक म्हणून ओळखल्या जाणाऱ्या गोष्टीची आवश्यकता आहे. दिलेल्या सममितीय पत्रकावर $4 ~cm$ लांबी, $3 ~cm$ रुंदी आणि $3 ~cm$ उंचीच्या परिमाणांसह घनाभ बनवण्याचा प्रयत्न करूया.

१३.४.२ सममितीय रेखाचित्रे

तुम्ही सममितीय ठिपके असलेले पत्रक पाहिले आहे का? (पुस्तकाच्या शेवटी एक नमुना दिला आहे). असे पत्रक कागदाला ठिपके किंवा रेषांनी बनवलेल्या लहान समभुज त्रिकोणांमध्ये विभागते. मापे देखील घनाशी सुसंगत असतील अशी रेखाचित्रे काढण्यासाठी, आपण सममितीय ठिपके असलेली पत्रके वापरू शकतो. [मागील आवरणाच्या आतील बाजूला दिलेले (तिसरे आवरण पृष्ठ).]

$4 \times 3 \times 3$ परिमाणांच्या घनाभाचे सममितीय रेखाचित्र काढण्याचा प्रयत्न करूया (म्हणजे लांबी, रुंदी आणि उंची बनवणाऱ्या कडा अनुक्रमे ४, ३, ३ एकक आहेत) (आकृती १३.१३).

लक्षात घ्या की सममितीय रेखाचित्रात मापे नेमक्या आकाराची असतात;

उदाहरण १ येथे घनाभाचे एक तिरपे रेखाचित्र आहे [आकृती १३.१४(i)]. या रेखाचित्राशी जुळणारे सममितीय रेखाचित्र काढा.

उकल

येथे उकल आहे [आकृती १३.१४(ii)]. मापांची काळजी कशी घेतली जाते ते लक्षात घ्या.

तुम्ही (i) ‘लांबी’ (ii) ‘रुंदी’ (iii) ‘उंची’ बरोबर किती एकके घेतली आहेत? ती तिरप्या रेखाचित्रात नमूद केलेल्या एककांशी जुळतात का?

क्रियाकलाप १३.२

१. सममितीय ठिपके असलेले कागद वापरा आणि दिलेल्या प्रत्येक आकारासाठी सममितीय रेखाचित्र बनवा:

२. घनाभाची परिमाणे $5 ~cm, 3 ~cm$ आणि $2 ~cm$ आहेत. या घनाभाची तीन वेगवेगळी सममितीय रेखाचित्रे काढा.

३. $2 ~cm$ कडा असलेले तीन घन एकमेकांशेजारी ठेवून घनाभ तयार केला आहे. या घनाभाचे तिरपे किंवा सममितीय रेखाचित्र काढा.

४. दिलेल्या प्रत्येक सममितीय आकारासाठी तिरपे रेखाचित्र काढा:

५. खालील प्रत्येकासाठी (i) तिरपे रेखाचित्र आणि (ii) सममितीय रेखाचित्र द्या:

(अ) $5 ~cm, 3 ~cm$ आणि $2 ~cm$ परिमाणांचा घनाभ. (तुमचे रेखाचित्र अद्वितीय आहे का?)

(ब) $4 ~cm$ लांबीची कडा असलेला घन.

पुस्तकाच्या शेवटी सममितीय पत्रक जोडले आहे. तुम्ही तुमच्या मित्राने सांगितलेल्या परिमाणांचे काही घन किंवा घनाभ त्यावर बनवण्याचा प्रयत्न करू शकता.

१३.४.३ घन वस्तूंचे मानसिक दर्शन

हे करा

कधीकधी जेव्हा तुम्ही एकत्रित आकार पाहता, तेव्हा त्यापैकी काही तुमच्या दृष्टीक्षेपातून लपलेले असू शकतात.

येथे काही क्रियाकलाप आहेत जे तुम्ही तुमच्या मोकळ्या वेळेत काही घन वस्तू आणि त्या कशा दिसतात याची कल्पना करण्यास मदत करण्यासाठी करू शकता. काही घन घ्या आणि आकृती १३.१६ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे त्यांची मांडणी करा.

आता तुमच्या मित्राला बाणाच्या खुणेने दर्शविलेल्या दृश्यातून पाहिल्यावर किती घन आहेत याचा अंदाज लावण्यास सांगा.

हे करून पहा

खालील मांडण्यांमध्ये (आकृती १३.१७) घनांची संख्या अंदाज लावण्याचा प्रयत्न करा.

असे मानसिक दर्शन खूप उपयुक्त आहे. समजा तुम्ही असे घन जोडून घनाभ तयार करता. घनाभाची लांबी, रुंदी आणि उंची किती असेल हे तुम्ही अंदाज लावू शकाल.

उदाहरण २ जर $2 ~cm$ ने $2 ~cm$ ने $2 ~cm$ परिमाणांचे दोन घन एकमेकांशेजारी ठेवले, तर परिणामी घनाभाची परिमाणे किती असतील?

उकल

जसे तुम्ही पाहू शकता (आकृती १३.१८) एकमेकांशेजारी ठेवल्यावर, लांबी हे एकमेव माप वाढते, ती $2+2=4 ~cm$ होते.

रुंदी $=2 ~cm$ आणि उंची $=2 ~cm$.

हे करून पहा

आकृती १३.१९

१. दोन फासे दाखवल्याप्रमाणे एकमेकांशेजारी ठेवले आहेत: खालील प्रत्येकाच्या विरुद्ध पृष्ठभागावर एकूण किती असेल ते तुम्ही सांगू शकता का?

(अ) $5+6$

(ब) $4+3$

(लक्षात ठेवा की फाशावर विरुद्ध पृष्ठभागांवरील संख्यांची बेरीज ७ असते)

२. $2 ~cm$ कडा असलेले तीन घन एकमेकांशेजारी ठेवून घनाभ तयार केला आहे. तिरपे रेखाचित्र काढण्याचा प्रयत्न करा आणि त्याची लांबी, रुंदी आणि उंची किती असू शकते ते सांगा.

१३.५ घनाचे विविध भाग पाहणे

आता ३-डी मध्ये असलेली वस्तू वेगवेगळ्या प्रकारे कशी पाहिली जाऊ शकते ते पाहूया.

१३.५.१ वस्तू पाहण्याचा एक मार्ग म्हणजे कापणे किंवा तुकडे करणे तुकडे करण्याचा खेळ

येथे भाकरीचा एक पुणका आहे (आकृती १३.२०). तो चौरस पृष्ठभाग असलेल्या घनाभासारखा आहे. तुम्ही त्याला सुरीने ‘तुकडे’ करता.

आकृती १३.२०

जेव्हा तुम्ही ‘उभा’ तुकडा करता, तेव्हा तुम्हाला आकृती १३.२० मध्ये दाखवल्याप्रमाणे अनेक तुकडे मिळतात. प्रत्येक तुकड्याचा पृष्ठभाग चौरस असतो! आपण या पृष्ठभागाला संपूर्ण भाकरीचा ‘क्रॉस-सेक्शन’ म्हणतो. या प्रकरणात क्रॉस सेक्शन जवळजवळ चौरस असतो.

सावधान! जर तुमचा तुकडा ‘उभा’ नसेल तर तुम्हाला वेगळा क्रॉस सेक्शन मिळू शकतो! याचा विचार करा. तुम्हाला मिळालेल्या क्रॉस-सेक्शनची सीमा ही एक समतल वक्र असते. तुम्ही ते लक्षात घेतात का?

एक स्वयंपाकघरातील खेळ

स्वयंपाकघरात स्वयंपाकासाठी भाज्या कापल्या जातात तेव्हा त्यांचे क्रॉस-सेक्शन तुम्ही पाहिले आहेत का? विविध तुकडे पाहा आणि क्रॉस-सेक्शन म्हणून मिळणाऱ्या आकारांबद्दल जागरूक व्हा.

हे खेळा

खालील घनांची मातीची (किंवा प्लास्टिसिनची) मॉडेल्स बनवा आणि उभे किंवा आडवे तुकडे करा.

तुम्हाला मिळालेल्या क्रॉस-सेक्शनची ढोबळ रेखाचित्रे काढा. जिथे शक्य असेल तेथे त्यांना नावे द्या.

आकृती १३.२१

क्रियाकलाप १३.३

१. खालील घनांना

(i) उभा तुकडा $\qquad$ (ii) आडवा तुकडा

दिल्यास तुम्हाला कोणते क्रॉस-सेक्शन मिळतील?

(अ) विट $\qquad$ (ब) गोल सफरचंद $\qquad$ (क) फासा

(ड) गोलाकार नळी $\qquad$ (इ) आईस्क्रीम कोन

१३.५.२ दुसरा मार्ग म्हणजे सावलीचा खेळ

सावलीचा खेळ

त्रिमितीय वस्तू द्विमितीय मध्ये कशा पाहिल्या जाऊ शकतात हे दर्शवण्यासाठी सावली चांगला मार्ग आहे. तुम्ही सावलीचा खेळ पाहिला आहे का? हा एक मनोरंजनाचा प्रकार आहे ज्यामध्ये फिरत्या प्रतिमा निर्माण करण्यासाठी प्रकाशित पार्श्वभूमीसमोर घन सांधे असलेल्या आकृती वापरल्या जातात.

आकृती १३.२२ प्रतिमा. यामध्ये गणितातील कल्पनांचा अप्रत्यक्ष वापर केला जातो.

या क्रियाकलापासाठी तुम्हाला प्रकाशाचा स्रोत आणि काही घन आकारांची आवश्यकता असेल. (तुमच्याकडे ओव्हरहेड प्रोजेक्टर असल्यास, घन दिव्याखाली ठेवा आणी हे प्रयोग करा.)

शंकूच्या समोर टॉर्च लावा. तो स्क्रीनवर

आकृती १३.२३ कोणत्या प्रकारची सावली टाकतो? (आकृती १३.२३)

घन त्रिमितीय आहे; सावलीचे आयाम किती आहेत?

जर, शंकूऐवजी, तुम्ही वरील खेळात घन ठेवला, तर तुम्हाला कोणत्या प्रकारची सावली मिळेल?

प्रकाशाच्या स्रोताच्या वेगवेगळ्या स्थिती आणि घन वस्तूच्या वेगवेगळ्या स्थितीसह प्रयोग करा. तुम्हाला मिळणाऱ्या सावल्यांच्या आकार आणि आकारांवर त्यांचा परिणाम अभ्यासा.

येथे आणखी एक मजेदार प्रयोग आहे जो तुम्ही कदाचित आधीच केला असेल: जेव्हा सूर्य दुपारच्या वेळी त्याच्या अगदी वर असतो तेव्हा एक गोलाकार ताट उघड्यात ठेवा जसे आकृती १३.२४ (i) मध्ये दाखवले आहे. तुम्हाला कोणती सावली मिळते?

(i)

ते दरम्यान सारखेच असेल का

सूर्याच्या स्थिती आणि निरीक्षणाच्या वेळेशी संबंधित सावल्यांचा अभ्यास करा.

क्रियाकलाप १३.४

१. एक बल्ब खालील घनांच्या अगदी वर जळत ठेवला आहे. प्रत्येक प्रकरणात मिळणाऱ्या सावलीचा आकार नाव द्या. सावलीचे ढोबळ रेखाचित्र देण्याचा प्रयत्न करा. (तुम्ही प्रथम प्रयोग करून पाहू शकता आणि नंतर या प्रश्नांची उत्तरे देऊ शकता).

२. येथे काही ३-डी वस्तूंच्या सावल्या आहेत, जेव्हा ओव्हरहेड प्रोजेक्टरच्या दिव्याखाली पाहिले जातात. प्रत्येक सावलीशी जुळणारे घन ओळखा. (यासाठी अनेक उत्तरे असू शकतात!)

३. खालील विधाने सत्य आहेत का तपासा:

(i) घन आयताच्या आकारात सावली टाकू शकतो.

(ii) घन षटकोनाच्या आकारात सावली टाकू शकतो.

१३.५.३ तिसरा मार्ग म्हणजे विशिष्ट कोनातून पाहून वेगवेगळे दृश्ये मिळवणे

एखादी वस्तू समोरून, बाजूने किंवा वरून पाहिली जाऊ शकते. प्रत्येक वेळी वेगवेगळे दृश्य मिळेल (आकृती १३.२५).

येथे दिलेल्या इमारतीची वेगवेगळी दृश्ये कशी मिळतात याचे उदाहरण आहे. (आकृती १३.२६)

तुम्ही घन एकत्र जोडून बनवलेल्या आकृत्यांसाठी हे करू शकता.

घन एकत्र ठेवण्याचा आणि नंतर वेगवेगळ्या बाजूंनी अशी रेखाचित्रे बनवण्याचा प्रयत्न करा.

हे करून पहा

१. प्रत्येक घनासाठी, तीन दृश्ये (१), (२), (३) दिली आहेत. प्रत्येक घनासाठी संबंधित वरचे, समोरचे आणि बाजूचे दृश्य ओळखा.

२. बाणाने दर्शविलेल्या दिश