13.1 ಪರಿಚಯ: ಸಮತಲ ಆಕೃತಿಗಳು ಮತ್ತು ಘನ ಆಕಾರಗಳು

ಈ ಅಧ್ಯಾಯದಲ್ಲಿ, ನೀವು ನೋಡಿದ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಆಯಾಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ವರ್ಗೀಕರಿಸುವಿರಿ.

ನಮ್ಮ ದೈನಂದಿನ ಜೀವನದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಪುಸ್ತಕಗಳು, ಚೆಂಡುಗಳು, ಐಸ್ ಕ್ರೀಮ್ ಕೋನ್ಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ ಹಲವಾರು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಇವುಗಳು ವಿವಿಧ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಈ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಸ್ತುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಕೆಲವು ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಅಥವಾ ಆಳವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಅಂದರೆ, ಅವೆಲ್ಲವೂ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಆಕಾರಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ನೋಡಿದ ಕೆಲವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಆಕಾರಗಳನ್ನು (ಅಂದರೆ, ಘನ ಆಕಾರಗಳನ್ನು) ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿದೆಯೇ?

ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಆಕಾರದಂತೆ ಕಾಣುವ ಕೆಲವು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಇದೇ ರೀತಿಯ ತರ್ಕದಿಂದ, ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ಬರೆಯಲಾದ ಆಕೃತಿಗಳು, ಅವುಗಳು ಕೇವಲ ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಅಗಲವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ಎರಡು ಆಯಾಮದ (ಅಂದರೆ, ಸಮತಲ) ಆಕೃತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು. ಹಿಂದಿನ ತರಗತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ನಾವು ನೋಡಿದ್ದೇವೆ.

2 ಆಯಾಮದ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಹೆಸರುಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಿ (ಚಿತ್ರ 13.2):

ಗಮನಿಸಿ: 2-ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ 2-D ಮತ್ತು 3-ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ 3-D ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು.

13.2 ಮುಖಗಳು, ಅಂಚುಗಳು ಮತ್ತು ಶೃಂಗಗಳು

ಘನ ಆಕಾರಗಳ ಮುಖಗಳು, ಶೃಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಅಂಚುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿದೆಯೇ, ಅದನ್ನು ನೀವು ಹಿಂದೆ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೀರಿ? ಘನಾಕೃತಿಗಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ನೋಡುತ್ತೀರಿ:

ಘನದ 8 ಮೂಲೆಗಳು ಅದರ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿವೆ. ಘನದ ಅಸ್ಥಿಪಂಜರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ 12 ರೇಖಾ ಖಂಡಗಳು ಅದರ ಅಂಚುಗಳಾಗಿವೆ. ಘನದ ತ್ವಚೆಯಂತಿರುವ 6 ಸಮತಲ ಚದರ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಅದರ ಮುಖಗಳಾಗಿವೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

ಕೆಳಗಿನ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ:

ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಆಕಾರಗಳ ಮುಖಗಳಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೀವು ನೋಡಬಹುದೇ? ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಿಲಿಂಡರ್ 0 ಗೆ ಎರಡು ಮುಖಗಳಿವೆ, ಅವು ವೃತ್ತಗಳಾಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್, ಈ ರೀತಿ ಆಕಾರವುಳ್ಳದ್ದು, ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಅದರ ಮುಖಗಳಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ.

ಈಗ ಈ 3-D ಆಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವನ್ನು 2-D ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ, ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ, ಹೇಗೆ ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನೋಡಲು ನಾವು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಪರಿಚಿತರಾಗಲು ಬಯಸುತ್ತೇವೆ. ನೆಟ್ಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವವುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

13.3 3-D ಆಕಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ನೆಟ್ಗಳು

ಒಂದು ಗಟ್ಟಿ ಕಾಗದದ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು ಸಮತಟ್ಟಾಗಿ ಹಾಸಲು ಅದರ ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ. ಈಗ ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿ ಆ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗೆ ಒಂದು ನೆಟ್ ಇದೆ. ನೆಟ್ ಎಂದರೆ 2-D ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ರೀತಿಯ ಅಸ್ಥಿಪಂಜರ-ರೂಪರೇಖೆ [ಚಿತ್ರ13.4 (i)], ಅದನ್ನು ಮಡಿಸಿದಾಗ [ಚಿತ್ರ13.4 (ii)], 3-D ಆಕಾರವು ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ [ಚಿತ್ರ13.4 (iii)].

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ಅಂಚುಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಬೇರ್ಪಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ಒಂದು ನೆಟ್ ಪಡೆದಿರಿ. ಹಿಮ್ಮುಖ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ ಸಾಧ್ಯವೇ?

ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪೆಟ್ಟಿಗೆಗೆ ನೆಟ್ ಮಾದರಿಯಿದೆ (ಚಿತ್ರ 13.5). ನೆಟ್ನ ವಿಸ್ತೃತ ಆವೃತ್ತಿಯನ್ನು ನಕಲು ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಸೂಕ್ತವಾಗಿ ಮಡಿಸಿ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಅಂಟಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. (ನೀವು ಸೂಕ್ತ ಏಕಮಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು). ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯು ಒಂದು ಘನವಾಗಿದೆ. ಇದು ಘನಾಭದ ಆಕಾರವಿರುವ 3-D ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ.

ಅದೇ ರೀತಿ, ಅದರ ಓರೆಯಾದ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಒಂದು ಸೀಳು ಕತ್ತರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಶಂಕುವಿಗೆ ಒಂದು ನೆಟ್ ಪಡೆಯಬಹುದು (ಚಿತ್ರ 13.6).

ವಿವಿಧ ಆಕಾರಗಳಿಗೆ ನಿಮಗೆ ವಿವಿಧ ನೆಟ್ಗಳಿವೆ. ನೀಡಲಾದ ನೆಟ್ಗಳ ವಿಸ್ತೃತ ಆವೃತ್ತಿಗಳನ್ನು ನಕಲು ಮಾಡಿ (ಚಿತ್ರ 13.7) ಮತ್ತು ಸೂಚಿಸಲಾದ 3-D ಆಕಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. (ಕಾಗದದ ಕ್ಲಿಪ್ಗಳಿಂದ ಬಿಗಿಯಾಗಿ ಕಟ್ಟಲ್ಪಟ್ಟ ಗಟ್ಟಿ ಕಾಗದದ ಪಟ್ಟಿಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ ಅಸ್ಥಿಪಂಜರ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲು ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡಬಹುದು).

ಗಿಜಾದಲ್ಲಿನ (ಈಜಿಪ್ಟ್) ಗ್ರೇಟ್ ಪಿರಮಿಡ್ನಂತೆ (ಚಿತ್ರ 13.8) ಒಂದು ಪಿರಮಿಡ್ ಮಾಡಲು ನಾವು ಒಂದು ನೆಟ್ ಮಾಡಲೂ ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು. ಆ ಪಿರಮಿಡ್ಗೆ ಚದರ ತಳ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ತ್ರಿಕೋನಗಳಿವೆ.

ನೀಡಲಾದ ನೆಟ್ನೊಂದಿಗೆ (ಚಿತ್ರ 13.9) ನೀವು ಅದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದೇ ಎಂದು ನೋಡಿ.

ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಇಲ್ಲಿ ನೀವು ನಾಲ್ಕು ನೆಟ್ಗಳನ್ನು ಕಾಣುತ್ತೀರಿ (ಚಿತ್ರ 13.10). ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್ ಮಾಡಲು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸರಿಯಾದ ನೆಟ್ಗಳಿವೆ. ಯಾವ ನೆಟ್ಗಳು ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರಾನ್ ಮಾಡುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದೇ ಎಂದು ನೋಡಿ.

ಅಭ್ಯಾಸ 13.1

1. ಘನಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ನೆಟ್ಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ (ನೆಟ್ಗಳ ನಕಲುಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ):

2. ದಾಳಗಳು ಪ್ರತಿ ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘನಗಳಾಗಿವೆ. ದಾಳದ ಎದುರು ಮುಖಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಒಟ್ಟು ಏಳು ಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಇಲ್ಲಿ ದಾಳಗಳನ್ನು (ಘನಗಳನ್ನು) ಮಾಡಲು ಎರಡು ನೆಟ್ಗಳಿವೆ; ಪ್ರತಿ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಆ ಪೆಟ್ಟಿಗೆಯಲ್ಲಿನ ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತವೆ.

ಎದುರು ಮುಖಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯು 7 ಕ್ಕೆ ಒಟ್ಟುಗೂಡಬೇಕು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಂಡು, ಖಾಲಿ ಜಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ.

3. ಇದು ದಾಳಕ್ಕೆ ಒಂದು ನೆಟ್ ಆಗಬಹುದೇ?

ನಿಮ್ಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.

4. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘನ ಮಾಡಲು ಅಪೂರ್ಣ ನೆಟ್ ಇದೆ. ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ. ಘನವು ಆರು ಮುಖಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ. ಇಲ್ಲಿ ನೆಟ್ನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಮುಖಗಳಿವೆ? (ಎರಡು ಪ್ರತ್ಯೇಕ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೀಡಿ. ನೀವು ಬಯಸಿದರೆ, ಸುಲಭವಾದ ನಿರ್ವಹಣೆಗಾಗಿ ಚೌಕಗಳಿರುವ ಹಾಳೆಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.)

5. ನೆಟ್ಗಳನ್ನು ಸೂಕ್ತ ಘನಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಸಿ:

ಈ ಆಟವನ್ನು ಆಡಿ

ನೀವು ಮತ್ತು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತರು ಬೆನ್ನಿಗೆ ಬೆನ್ನು ಹಾಕಿಕೊಂಡು ಕುಳಿತುಕೊಳ್ಳಿ. ನಿಮ್ಮಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು 3-D ಆಕಾರ ಮಾಡಲು ಒಂದು ನೆಟ್ ಅನ್ನು ಓದುತ್ತಾರೆ, ಇನ್ನೊಬ್ಬರು ಅದನ್ನು ನಕಲು ಮಾಡಲು ಮತ್ತು ವಿವರಿಸಿದ 3-D ವಸ್ತುವನ್ನು ರೇಖಾಚಿತ್ರ ಮಾಡಲು ಅಥವಾ ನಿರ್ಮಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ.

13.4 ಸಮತಲ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಘನಗಳನ್ನು ರೇಖಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮ ರೇಖಿಸುವ ಮೇಲ್ಮೈ ಕಾಗದವಾಗಿದೆ, ಅದು ಸಮತಲವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಘನ ಆಕಾರವನ್ನು ರೇಖಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳನ್ನು ಮೂರು ಆಯಾಮದಂತೆ ಕಾಣಿಸಲು ಚಿತ್ರಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿರೂಪಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇದು ಒಂದು ದೃಶ್ಯ ಭ್ರಮೆಯಾಗಿದೆ. ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಇಲ್ಲಿ ಎರಡು ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಾಣುವಿರಿ.

13.4.1 ಓರೆಯಾದ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು

ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಘನದ ಚಿತ್ರವಿದೆ (ಚಿತ್ರ 13.11). ಮುಂಭಾಗದಿಂದ ನೋಡಿದಾಗ ಘನವು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ ಎಂಬುದರ ಸ್ಪಷ್ಟ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅದು ನೀಡುತ್ತದೆ. ನೀವು ಕೆಲವು ಮುಖಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದಿಲ್ಲ. ರೇಖಿಸಿದ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ, ಉದ್ದಗಳು

ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲ, ಅವು ಘನದಲ್ಲಿ ಇರಬೇಕಾದಂತೆ. ಆದರೂ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಘನವೆಂದು ಗುರುತಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಘನದ ಇಂತಹ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಓರೆಯಾದ ರೇಖಾಚ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೀವು ಹೇಗೆ ರೇಖಿಸಬಹುದು? ತಂತ್ರವನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

ನಿಮಗೆ ಚೌಕಗಳಿರುವ (ಗೆರೆಗಳು ಅಥವಾ ಚುಕ್ಕೆಗಳು) ಕಾಗದ ಬೇಕು. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಈ ಹಾಳೆಗಳ ಮೇಲೆ ರೇಖಿಸಲು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ನಂತರ ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾದಾ ಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ (ಚೌಕಗಳ ಗೆರೆಗಳು ಅಥವಾ ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಸಹಾಯವಿಲ್ಲದೆ!) ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಖಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ! $3 \times 3 \times 3$ (ಪ್ರತಿ ಅಂಚು 3 ಏಕಮಾನ) ಘನದ ಓರೆಯಾದ ರೇಖಾಚ್ರವನ್ನು ರೇಖಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 13.12).

ಮೇಲಿನ ಓರೆಯಾದ ರೇಖಾಚ್ರದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ?

(i) ಮುಂಭಾಗದ ಮುಖಗಳ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಅದರ ಎದುರು ಮುಖದ ಗಾತ್ರ ಒಂದೇ; ಮತ್ತು

(ii) ಘನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಅಂಚುಗಳು, ರೇಖಾಚ್ರದಲ್ಲಿ ಅದೇ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೂ ಅಂಚುಗಳ ನಿಜವಾದ ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಅಷ್ಟು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿಲ್ಲ.

ಈಗ ನೀವು ಘನಾಭದ (ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಮುಖಗಳು ಆಯತಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ) ಓರೆಯಾದ ರೇಖಾಚ್ರವನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು

ಗಮನಿಸಿ: ನೀಡಲಾದ ಘನದ ಅಳತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಒಪ್ಪುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ನೀವು ರೇಖಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಮಗೆ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹಾಳೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದು ಬೇಕು. ನೀಡಲಾದ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹಾಳೆಯ ಮೇಲೆ $4 ~cm$ ಉದ್ದ, $3 ~cm$ ಅಗಲ ಮತ್ತು $3 ~cm$ ಎತ್ತರದ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘನಾಭವನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ.

13.4.2 ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳು

ನೀವು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಚುಕ್ಕೆ ಹಾಳೆಯನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೀರಾ? (ಪುಸ್ತಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮಾದರಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ). ಅಂತಹ ಹಾಳೆಯು ಕಾಗದವನ್ನು ಚುಕ್ಕೆಗಳು ಅಥವಾ ಗೆರೆಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ಸಣ್ಣ ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಘನದ ಅಳತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಒಪ್ಪುವ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ರೇಖಿಸಲು, ನಾವು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಚುಕ್ಕೆ ಹಾಳೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. [ಹಿಂಬದಿ ಮುಖಪುಟದ ಒಳಭಾಗದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (3ನೇ ಮುಖಪುಟ).]

$4 \times 3 \times 3$ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘನಾಭದ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೇಖಾಚ್ರವನ್ನು ರೇಖಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ (ಅಂದರೆ ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಅಂಚುಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ 4, 3, 3 ಏಕಮಾನಗಳಾಗಿವೆ) (ಚಿತ್ರ 13.13).

ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೇಖಾಚ್ರದಲ್ಲಿ ಅಳತೆಗಳು ನಿಖರವಾದ ಗಾತ್ರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ;

ಉದಾಹರಣೆ 1 ಇಲ್ಲಿ ಘನಾಭದ ಓರೆಯಾದ ರೇಖಾಚ್ರವಿದೆ [ಚಿತ್ರ 13.14(i)]. ಈ ರೇಖಾಚಿತ್ರಕ್ಕೆ ಹೊಂದುವ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೇಖಾಚ್ರವನ್ನು ರೇಖಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ

ಪರಿಹಾರ ಇಲ್ಲಿದೆ [ಚಿತ್ರ 13.14(ii)]. ಅಳತೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

ನೀವು (i) ‘ಉದ್ದ’ದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಎಷ್ಟು ಏಕಮಾನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ? (ii) ‘ಅಗಲ’ದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ? (iii) ‘ಎತ್ತರ’ದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ? ಅವು ಓರೆಯಾದ ರೇಖಾಚ್ರದಲ್ಲಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾದ ಏಕಮಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದುತ್ತವೆಯೇ?

ಅಭ್ಯಾಸ 13.2

1. ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಚುಕ್ಕೆ ಕಾಗದವನ್ನು ಬಳಸಿ ಮತ್ತು ನೀಡಲಾದ ಪ್ರತಿ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೇಖಾಚ್ರವನ್ನು ಮಾಡಿ:

2. ಘನಾಭದ ಆಯಾಮಗಳು $5 ~cm, 3 ~cm$ ಮತ್ತು $2 ~cm$. ಈ ಘನಾಭದ ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ರೇಖಿಸಿ.

3. ಪ್ರತಿ $2 ~cm$ ಅಂಚಿನ ಮೂರು ಘನಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ಘನಾಭವನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಘನಾಭದ ಓರೆಯಾದ ಅಥವಾ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೇಖಾಚ್ರವನ್ನು ರೇಖಿಸಿ.

4. ನೀಡಲಾದ ಪ್ರತಿ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ಓರೆಯಾದ ರೇಖಾಚ್ರವನ್ನು ಮಾಡಿ:

5. ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೆ (i) ಓರೆಯಾದ ರೇಖಾಚ್ರ ಮತ್ತು (ii) ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೇಖಾಚ್ರವನ್ನು ನೀಡಿ:

(ಎ) $5 ~cm, 3 ~cm$ ಮತ್ತು $2 ~cm$ ಆಯಾಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘನಾಭ. (ನಿಮ್ಮ ರೇಖಾಚ್ರವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆಯೇ?)

(ಬಿ) $4 ~cm$ ಉದ್ದದ ಅಂಚನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಘನ.

ಪುಸ್ತಕದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್ ಹಾಳೆಯನ್ನು ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಆಯಾಮಗಳ ಕೆಲವು ಘನಗಳು ಅಥವಾ ಘನಾಭಗಳನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಮಾಡಲು ನೀವು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು.

13.4.3 ಘನ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸುವುದು

ಇದನ್ನು ಮಾಡಿ

ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೀವು ಸಂಯೋಜಿತ ಆಕಾರಗಳನ್ನು ನೋಡುವಾಗ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ನಿಮ್ಮ ದೃಷ್ಟಿಯಿಂದ ಮರೆಮಾಡಲ್ಪಡಬಹುದು.

ಕೆಲವು ಘನ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ನಿಮ್ಮ ಉಚಿತ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನೀವು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದಾದ ಕೆಲವು ಚಟುವಟಿಕೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ. ಕೆಲವು ಘನಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಚಿತ್ರ 13.16 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಜೋಡಿಸಿ.

ಈಗ ಬಾಣದ ಗುರುತಿನಿಂದ ತೋರಿಸಲಾದ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ನೋಡಿದಾಗ ಎಷ್ಟು ಘನಗಳಿವೆ ಎಂದು ನಿಮ್ಮ ಸ್ನೇಹಿತನು ಊಹಿಸಲು ಕೇಳಿ.

ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಕೆಳಗಿನ ಜೋಡಣೆಗಳಲ್ಲಿ (ಚಿತ್ರ 13.17) ಘನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಊಹಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಅಂತಹ ದೃಶ್ಯೀಕರಣವು ಬಹಳ ಸಹಾಯಕಾರಿಯಾಗಿದೆ. ನೀವು ಅಂತಹ ಘನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಘನಾಭವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸಿ. ಘನಾಭದ ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಏನಾಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಊಹಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 2 $2 ~cm$ ನಿಂದ $2 ~cm$ ನಿಂದ $2 ~cm$ ಆಯಾಮಗಳ ಎರಡು ಘನಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದರೆ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಘನಾಭದ ಆಯಾಮಗಳು ಏನಾಗಿರುತ್ತವೆ?

ಪರಿಹಾರ

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ (ಚಿತ್ರ 13.18) ಪಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದಾಗ, ಉದ್ದವು ಮಾತ್ರ ಹೆಚ್ಚಾಗುವ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ, ಅದು $2+2=4 ~cm$ ಆಗುತ್ತದೆ.

ಅಗಲ $=2 ~cm$ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ $=2 ~cm$.

ಇದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ

ಚಿತ್ರ 13.19

1. ಎರಡು ದಾಳಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಪಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಲಾಗಿದೆ: ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳ ಎದುರು ಮುಖದ ಮೇಲೆ ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೀವು ಹೇಳಬಹುದೇ?

(ಎ) $5+6$

(ಬಿ) $4+3$

(ದಾಳದಲ್ಲಿ ಎದುರು ಮುಖಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 7 ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ)

2. ಪ್ರತಿ $2 ~cm$ ಅಂಚಿನ ಮೂರು ಘನಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿ ಘನಾಭವನ್ನು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಓರೆಯಾದ ರೇಖಾಚ್ರವನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಉದ್ದ, ಅಗಲ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಏನಾಗಿರಬಹುದು ಎಂದು ಹೇಳಿ.

13.5 ಘನದ ವಿವಿಧ ಭಾಗಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದು

ಈಗ 3-D ನಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುವನ್ನು ಹೇಗೆ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ.

13.5.1 ವಸ್ತುವನ್ನು ನೋಡುವ ಒಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಕತ್ತರಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಸ್ಲೈಸ್ ಮಾಡುವುದು ಸ್ಲೈಸಿಂಗ್ ಆಟ

ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬ್ರೆಡ್ ಲೋಫ್ ಇದೆ (ಚಿತ್ರ 13.20). ಇದು ಚದರ ಮುಖವಿರುವ ಘನಾಭದಂತಿದೆ. ನೀವು ಅದನ್ನು ಚಾಕುವಿನಿಂದ ‘ಸ್ಲೈಸ್’ ಮಾಡುತ್ತೀರಿ.

ಚಿತ್ರ 13.20

ನೀವು ‘ಲಂಬ’ ಕತ್ತರಿ ನೀಡಿದಾಗ, ಚಿತ್ರ 13.20 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ನೀವು ಹಲವಾರು ತುಂಡುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ತುಂಡಿನ ಪ್ರತಿ ಮುಖವು ಒಂದು ಚೌಕವಾಗಿದೆ! ಈ ಮುಖವನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಬ್ರೆಡ್ನ ‘ಕ್ರಾಸ್-ಸೆಕ್ಷನ್’ ಎಂದು ನಾವು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಸ್ ಸೆಕ್ಷನ್ ಸುಮಾರು ಚೌಕವಾಗಿದೆ.

ಜಾಗರೂಕರಾಗಿರಿ! ನಿಮ್ಮ ಕತ್ತರಿ ‘ಲಂಬ’ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ ನೀವು ಬೇರೆ ಕ್ರಾಸ್ ಸೆಕ್ಷನ್ ಪಡೆಯಬಹುದು! ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಿ. ನೀವು ಪಡೆಯುವ ಕ್ರಾಸ್-ಸೆಕ್ಷನ್ನ ಗಡಿರೇಖೆಯು ಸಮತಲ ವಕ್ರರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ನೀವು ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ?

ಒಂದು ಅಡುಗೆಮನೆ ಆಟ

ಅಡುಗೆಮನೆಯಲ್ಲಿ ಅಡುಗೆಗಾಗಿ ಕೆಲವು ತರಕಾರಿಗಳನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದಾಗ ಅವುಗಳ ಕ್ರಾಸ್-ಸೆಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಾ? ವಿವಿಧ ಸ್ಲೈಸ್ಗಳನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಮತ್ತು ಕ್ರಾಸ್-ಸೆಕ್ಷನ್ಗಳಾಗಿ ಉಂಟಾಗುವ ಆಕಾರಗಳ ಬಗ್ಗೆ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಿ.

ಇದನ್ನು ಆಡಿ

ಕೆಳಗಿನ ಘನಗಳ ಮಣ್ಣಿನ (ಅಥವಾ ಪ್ಲಾಸ್ಟಿಸಿನ್) ಮಾದರಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಅಥವಾ ಅಡ್ಡ ಕತ್ತರಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ.

ನೀವು ಪಡೆಯುವ ಕ್ರಾಸ್-ಸೆಕ್ಷನ್ಗಳ ಒರಟು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ರೇಖಿಸಿ. ನಿಮಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾದೆಡೆ ಅವುಗಳಿಗೆ ಹೆಸರಿಸಿ.

ಚಿತ್ರ 13.21

ಅಭ್ಯಾಸ 13.3

1. ನೀವು ಕೆಳಗಿನ ಘನಗಳಿಗೆ

(i) ಲಂಬ ಕತ್ತರಿ $\qquad$ (ii) ಅಡ್ಡ ಕತ್ತರಿ

ನೀಡಿದಾಗ ನೀವು ಯಾವ ಕ್ರಾಸ್-ಸೆಕ್ಷನ್ಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ?

(ಎ) ಇಟ್ಟಿಗೆ $\qquad$ (ಬಿ) ಗುಂಡಾದ ಸೇಬು $\qquad$ (ಸಿ) ದಾಳ

(ಡಿ) ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಪೈಪ್ $\qquad$ (ಇ) ಐಸ್ ಕ್ರೀಮ್ ಕೋನ್

13.5.2 ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ನೆರಳು ಆಟದ ಮೂಲಕ

ಒಂದು ನೆರಳು ಆಟ

ಮೂರು ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎರಡು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ನೋಡಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ನೆರಳುಗಳು ಒಳ್ಳೆಯ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ನೀವು ನೆರಳು ಆಟವನ್ನು ನೋಡಿದ್ದೀರಾ? ಚಲಿಸುವ ಚಿತ್ರಗಳ ಭ್ರಮೆಯನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸಲು ಪ್ರಕಾಶಮಾನ ಹಿನ್ನೆಲೆಯ ಮು