13.1 పరిచయం: సమతల పటాలు మరియు ఘన ఆకారాలు

ఈ అధ్యాయంలో, మీరు చూసిన పటాలను డైమెన్షన్ అని పిలవబడే దాని పరంగా వర్గీకరిస్తారు.

మన రోజువారీ జీవితంలో, మనం పుస్తకాలు, బంతులు, ఐస్ క్రీమ్ కోన్లు మొదలైన అనేక వస్తువులను చూస్తాము, వీటికి వివిధ ఆకారాలు ఉంటాయి. ఈ వస్తువుల్లో చాలా వాటి గురించి ఒక సాధారణ విషయం ఏమిటంటే, అవన్నీ కొంత పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తు లేదా లోతు కలిగి ఉంటాయి.

అంటే, అవన్నీ స్థలాన్ని ఆక్రమిస్తాయి మరియు మూడు కొలతలను కలిగి ఉంటాయి.

అందువల్ల, వాటిని త్రిమితీయ ఆకారాలు అంటారు.

మునుపటి తరగతుల్లో మనం చూసిన కొన్ని త్రిమితీయ ఆకారాలను (అంటే, ఘన ఆకారాలు) మీరు గుర్తు చేసుకుంటారా?

ప్రయత్నించండి

ఈ ప్రతి ఒక్కటి వలె ఆకారం ఉన్న కొన్ని వస్తువులను గుర్తించడానికి ప్రయత్నించండి.

ఇదే విధమైన తార్కికం ద్వారా, కాగితంపై గీయబడిన పటాలు, వాటికి పొడవు మరియు వెడల్పు మాత్రమే ఉంటాయి, వాటిని ద్విమితీయ (అంటే, సమతల) పటాలు అని చెప్పవచ్చు. మునుపటి తరగతుల్లో కొన్ని ద్విమితీయ పటాలను కూడా మనం చూశాము.

ద్విమితీయ పటాలను పేర్లతో సరిపోల్చండి (Fig 13.2):

గమనిక: 2-డైమెన్షన్ కోసం 2-D మరియు 3-డైమెన్షన్ కోసం 3-D అని సంక్షిప్తంగా రాయవచ్చు.

13.2 ముఖాలు, అంచులు మరియు శీర్షాలు

మీరు ఇంతకు ముందు చదివిన ఘన ఆకారాల ముఖాలు, శీర్షాలు మరియు అంచులను గుర్తు చేసుకుంటారా? ఇక్కడ మీరు ఒక ఘనం కోసం వాటిని చూస్తారు:

ఘనం యొక్క 8 మూలలు దాని శీర్షాలు. ఘనం యొక్క అస్థిపంజరాన్ని ఏర్పరుచుకునే 12 రేఖా ఖండాలు దాని అంచులు. ఘనం యొక్క చర్మంగా ఉండే 6 చదునైన చతురస్రాకార ఉపరితలాలు దాని ముఖాలు.

దీన్ని చేయండి

కింది పట్టికను పూర్తి చేయండి:

ద్విమితీయ పటాలను త్రిమితీయ ఆకారాల ముఖాలుగా గుర్తించవచ్చని మీరు చూడగలరా? ఉదాహరణకు, స్థూపం 0 కి రెండు ముఖాలు ఉంటాయి, అవి వృత్తాలు, మరియు పిరమిడ్, ఇలా ఆకారం ఉన్నది, దాని ముఖాలు త్రిభుజాలు.

ఇప్పుడు ఈ 3-D ఆకారాల్లో కొన్నింటిని 2-D ఉపరితలంపై, అంటే, కాగితంపై ఎలా దృశ్యమానం చేయవచ్చో చూడటానికి ప్రయత్నిస్తాము.

దీన్ని చేయడానికి, మనం త్రిమితీయ వస్తువులను దగ్గరగా తెలుసుకోవాలనుకుంటున్నాము. నెట్లు అని పిలవబడే వాటిని తయారు చేయడం ద్వారా ఈ వస్తువులను ఏర్పరచడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

13.3 3-D ఆకారాలు నిర్మించడానికి నెట్లు

ఒక కార్డ్బోర్డ్ పెట్టెను తీసుకోండి. పెట్టెను చదునుగా పరచడానికి దాని అంచులను కత్తిరించండి. ఇప్పుడు మీకు ఆ పెట్టెకు నెట్ ఉంది. నెట్ అనేది 2-Dలో ఒక రకమైన అస్థిపంజర-రూపురేఖ [Fig13.4 (i)], దాన్ని మడతపెట్టినప్పుడు [Fig13.4 (ii)], 3-D ఆకారంలో ఫలితం ఇస్తుంది [Fig13.4 (iii)].

ఇక్కడ మీరు అంచులను తగిన విధంగా వేరు చేయడం ద్వారా ఒక నెట్ను పొందారు. రివర్స్ ప్రక్రియ సాధ్యమేనా?

ఇక్కడ ఒక పెట్టెకు నెట్ నమూనా ఉంది (Fig 13.5). నెట్ యొక్క విస్తరించిన వెర్షన్ను కాపీ చేసి, తగిన విధంగా మడతపెట్టి అతుక్కోవడం ద్వారా పెట్టెను తయారు చేయడానికి ప్రయత్నించండి. (మీరు తగిన యూనిట్లను ఉపయోగించవచ్చు). పెట్టె ఒక ఘనం. ఇది దీర్ఘఘనం ఆకారంతో ఉన్న 3-D వస్తువు.

అదేవిధంగా, మీరు దాని ఏటవాలు ఉపరితలం వెంబడి ఒక చీలికను కత్తిరించడం ద్వారా శంఖువు కోసం నెట్ను పొందవచ్చు (Fig 13.6).

వివిధ ఆకారాలకు మీకు వివిధ నెట్లు ఉంటాయి. ఇవ్వబడిన నెట్ల యొక్క విస్తరించిన వెర్షన్లను కాపీ చేసి (Fig 13.7) మరియు సూచించబడిన 3-D ఆకారాలను తయారు చేయడానికి ప్రయత్నించండి. (మీరు కాగితం క్లిప్లతో బిగించబడిన కార్డ్బోర్డ్ పట్టీలను ఉపయోగించి అస్థిపంజర మోడల్లను కూడా తయారు చేయడం ఇష్టపడవచ్చు).

మేము గిజాలోని గ్రేట్ పిరమిడ్ (ఈజిప్ట్) వంటి పిరమిడ్ను తయారు చేయడానికి నెట్ను కూడా తయారు చేయడానికి ప్రయత్నించవచ్చు (Fig 13.8). ఆ పిరమిడ్కు చతురస్రాకార ఆధారం మరియు నాలుగు వైపులా త్రిభుజాలు ఉంటాయి.

ఇవ్వబడిన నెట్తో (Fig 13.9) మీరు దాన్ని తయారు చేయగలరో లేదో చూడండి.

ప్రయత్నించండి

ఇక్కడ మీరు నాలుగు నెట్లను కనుగొంటారు (Fig 13.10). టెట్రాహెడ్రాన్ తయారు చేయడానికి వాటిలో రెండు సరైన నెట్లు ఉన్నాయి. ఏ నెట్లు టెట్రాహెడ్రాన్ను తయారు చేస్తాయో మీరు కనుగొనగలరో లేదో చూడండి.

అభ్యాసం 13.1

1. ఘనాలను తయారు చేయడానికి ఉపయోగించగల నెట్లను గుర్తించండి (నెట్ల కాపీలను కత్తిరించి ప్రయత్నించండి):

2. పాచికలు ప్రతి ముఖంపై చుక్కలు ఉన్న ఘనాలు. పాచిక యొక్క ఎదురెదురు ముఖాలు ఎల్లప్పుడూ మొత్తం ఏడు చుక్కలను కలిగి ఉంటాయి.

పాచికలు (ఘనాలు) తయారు చేయడానికి ఇక్కడ రెండు నెట్లు ఉన్నాయి; ప్రతి చతురస్రంలో చేర్చబడిన సంఖ్యలు ఆ పెట్టెలోని చుక్కల సంఖ్యను సూచిస్తాయి.

ఎదురెదురు ముఖాలపై సంఖ్య మొత్తం 7 కావలసినదని గుర్తుంచుకుని, ఖాళీలలో తగిన సంఖ్యలను చేర్చండి.

3. ఇది పాచికకు నెట్ కాగలదా?

మీ సమాధానాన్ని వివరించండి.

4. ఇక్కడ ఒక ఘనాన్ని తయారు చేయడానికి అసంపూర్ణ నెట్ ఉంది. కనీసం రెండు విభిన్న మార్గాల్లో దాన్ని పూర్తి చేయండి. ఘనానికి ఆరు ముఖాలు ఉంటాయని గుర్తుంచుకోండి. ఇక్కడ నెట్లో ఎన్ని ఉన్నాయి? (రెండు వేర్వేరు రేఖాచిత్రాలు ఇవ్వండి. మీకు నచ్చితే, సులభమైన మార్పిడి కోసం మీరు స్క్వేర్డ్ షీట్ను ఉపయోగించవచ్చు.)

5. నెట్లను తగిన ఘనాలతో సరిపోల్చండి:

ఈ ఆటను ఆడండి

మీరు మరియు మీ స్నేహితుడు వెనుకబడి కూర్చోండి. మీలో ఒకరు 3-D ఆకారాన్ని తయారు చేయడానికి నెట్ను బయటకు చదువుతారు, మరొకరు దాన్ని కాపీ చేయడానికి మరియు వివరించబడిన 3-D వస్తువును స్కెచ్ చేయడానికి లేదా నిర్మించడానికి ప్రయత్నిస్తారు.

13.4 ఒక చదునైన ఉపరితలంపై ఘనాలను గీయడం

మీ గీయడం ఉపరితలం కాగితం, ఇది చదునుగా ఉంటుంది. మీరు ఒక ఘన ఆకారాన్ని గీసినప్పుడు, చిత్రాలు త్రిమితీయంగా కనిపించేలా కొంత వక్రీకరించబడతాయి. ఇది ఒక దృశ్య భ్రమ. మీకు సహాయపడటానికి ఇక్కడ రెండు పద్ధతులు లభిస్తాయి.

13.4.1 ఓబ్లిక్ స్కెచ్లు

ఇక్కడ ఒక ఘనం యొక్క చిత్రం ఉంది (Fig 13.11). ఘనం ముందు నుండి చూసినప్పుడు ఎలా కనిపిస్తుందో దాని గురించి స్పష్టమైన ఆలోచనను ఇస్తుంది. మీరు కొన్ని ముఖాలను చూడరు. గీయబడిన చిత్రంలో, పొడవులు

సమానంగా లేవు, ఘనంలో వాటి ఉండవలసిన విధంగా. ఇంకా, మీరు దానిని ఘనంగా గుర్తించగలుగుతారు. ఘనం యొక్క అటువంటి స్కెచ్ను ఓబ్లిక్ స్కెచ్ అంటారు.

మీరు అటువంటి స్కెచ్లను ఎలా గీయగలరు? పద్ధతిని నేర్చుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

మీకు స్క్వేర్డ్ (గీతలు లేదా చుక్కలు) కాగితం అవసరం. ప్రారంభంలో ఈ షీట్లపై గీయడం సాధన చేయడం తర్వాత సాధారణ షీట్పై (స్క్వేర్డ్ లైన్లు లేదా చుక్కల సహాయం లేకుండా!) వాటిని స్కెచ్ చేయడం సులభం చేస్తుంది. ఒక $3 \times 3 \times 3$ (ప్రతి అంచు 3 యూనిట్లు) ఘనం యొక్క ఓబ్లిక్ స్కెచ్ను గీయడానికి ప్రయత్నిద్దాం (Fig 13.12).

పై ఓబ్లిక్ స్కెచ్లో, మీరు ఈ క్రింది వాటిని గమనించారా?

(i) ముందు ముఖాలు మరియు దాని ఎదురు ముఖాల పరిమాణాలు ఒకే విధంగా ఉంటాయి; మరియు

(ii) అంచులు, ఇవి ఘనంలో అన్నీ సమానంగా ఉంటాయి, స్కెచ్లో అలా కనిపిస్తాయి, అయినప్పటికీ అంచుల యొక్క వాస్తవ కొలతలు అలా తీసుకోబడలేదు.

మీరు ఇప్పుడు దీర్ఘఘనం యొక్క ఓబ్లిక్ స్కెచ్ను తయారు చేయడానికి ప్రయత్నించవచ్చు (ఈ సందర్భంలో ముఖాలు దీర్ఘచతురస్రాలు అని గుర్తుంచుకోండి)

గమనిక: కొలతలు కూడా ఇవ్వబడిన ఘనం యొక్క వాటితో ఏకీభవించే స్కెచ్లను మీరు గీయవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి మనకు ఐసోమెట్రిక్ షీట్ అని పిలవబడేది అవసరం. ఇవ్వబడిన ఐసోమెట్రిక్ షీట్పై $4 ~cm$ పొడవు, $3 ~cm$ వెడల్పు మరియు $3 ~cm$ ఎత్తు కొలతలతో దీర్ఘఘనాన్ని తయారు చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

13.4.2 ఐసోమెట్రిక్ స్కెచ్లు

మీరు ఐసోమెట్రిక్ డాట్ షీట్ను చూశారా? (బుక్ చివరిలో ఒక నమూనా ఇవ్వబడింది). అటువంటి షీట్ కాగితాన్ను చుక్కలు లేదా గీతలతో తయారు చేయబడిన చిన్న సమబాహు త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది. కొలతలు కూడా ఘనం యొక్క వాటితో ఏకీభవించే స్కెచ్లను గీయడానికి, మేము ఐసోమెట్రిక్ డాట్ షీట్లను ఉపయోగించవచ్చు. [బ్యాక్ కవర్ లోపలి భాగంలో ఇవ్వబడింది (3వ కవర్ పేజీ).]

$4 \times 3 \times 3$ కొలతలు ఉన్న దీర్ఘఘనం యొక్క ఐసోమెట్రిక్ స్కెచ్ను గీయడానికి ప్రయత్నిద్దాం (దీని అర్థం పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తును ఏర్పరుచుకునే అంచులు వరుసగా 4, 3, 3 యూనిట్లు) (Fig 13.13).

ఐసోమెట్రిక్ స్కెచ్లో కొలతలు ఖచ్చితమైన పరిమాణంలో ఉంటాయని గమనించండి;

ఉదాహరణ 1 ఇక్కడ దీర్ఘఘనం యొక్క ఓబ్లిక్ స్కెచ్ ఉంది [Fig 13.14(i)]. ఈ గీతకు సరిపోయే ఐసోమెట్రిక్ స్కెచ్ను గీయండి.

సాధన

ఇక్కడ సాధన ఉంది [Fig 13.14(ii)]. కొలతలు ఎలా జాగ్రత్త పడతారో గమనించండి.

మీరు (i) ‘పొడవు’? (ii) ‘వెడల్పు’? (iii) ‘ఎత్తు’? వెంబడి ఎన్ని యూనిట్లు తీసుకున్నారు? అవి ఓబ్లిక్ స్కెచ్లో పేర్కొన్న యూనిట్లతో సరిపోతాయా?

అభ్యాసం 13.2

1. ఐసోమెట్రిక్ డాట్ పేపర్ను ఉపయోగించండి మరియు ఇవ్వబడిన ఆకారాలలో ప్రతి ఒక్కటి కోసం ఐసోమెట్రిక్ స్కెచ్ చేయండి:

2. దీర్ఘఘనం యొక్క కొలతలు $5 ~cm, 3 ~cm$ మరియు $2 ~cm$. ఈ దీర్ఘఘనం యొక్క మూడు విభిన్న ఐసోమెట్రిక్ స్కెచ్లను గీయండి.

3. ప్రతి ఒక్కటి $2 ~cm$ అంచు ఉన్న మూడు ఘనాలు పక్కపక్కనే ఉంచబడి దీర్ఘఘనాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. ఈ దీర్ఘఘనం యొక్క ఓబ్లిక్ లేదా ఐసోమెట్రిక్ స్కెచ్ను గీయండి.

4. ఇవ్వబడిన ఐసోమెట్రిక్ ఆకారాలలో ప్రతి ఒక్కటి కోసం ఓబ్లిక్ స్కెచ్ చేయండి:

5. కింది వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి కోసం (i) ఓబ్లిక్ స్కెచ్ మరియు (ii) ఐసోమెట్రిక్ స్కెచ్ ఇవ్వండి:

(a) $5 ~cm, 3 ~cm$ మరియు $2 ~cm$ కొలతలు ఉన్న దీర్ఘఘనం. (మీ స్కెచ్ ప్రత్యేకమైనదేనా?)

(b) $4 ~cm$ పొడవు ఉన్న అంచు ఉన్న ఘనం.

బుక్ చివరిలో ఐసోమెట్రిక్ షీట్ జోడించబడింది. మీ స్నేహితుడు నిర్దేశించిన కొలతలతో కొన్ని ఘనాలు లేదా దీర్ఘఘనాలను దానిపై తయారు చేయడానికి మీరు ప్రయత్నించవచ్చు.

13.4.3 ఘన వస్తువులను దృశ్యమానం చేయడం

దీన్ని చేయండి

కొన్నిసార్లు మీరు కలిపిన ఆకారాలను చూసినప్పుడు, వాటిలో కొన్ని మీ దృష్టికి దాచబడి ఉండవచ్చు.

కొన్ని ఘన వస్తువులను మరియు అవి ఎలా కనిపిస్తాయో దృశ్యమానం చేయడంలో మీకు సహాయపడటానికి మీరు మీ ఖాళీ సమయంలో ప్రయత్నించగల కొన్ని కార్యకలాపాలు ఇక్కడ ఉన్నాయి. కొన్ని ఘనాలను తీసుకుని Fig 13.16లో చూపిన విధంగా అమర్చండి.

ఇప్పుడు బాణం గుర్తు ద్వారా చూపిన దృశ్యం నుండి గమనించినప్పుడు ఎన్ని ఘనాలు ఉన్నాయో అంచనా వేయమని మీ స్నేహితుడిని అడగండి.

ప్రయత్నించండి

కింది అమరికల్లో ఘనాల సంఖ్యను అంచనా వేయడానికి ప్రయత్నించండి (Fig 13.17).

అటువంటి దృశ్యమానం చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. మీరు అటువంటి ఘనాలను కలపడం ద్వారా దీర్ఘఘనాన్ని ఏర్పరుచుకుంటారని అనుకుందాం. దీర్ఘఘనం యొక్క పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తు ఏమిటో మీరు అంచనా వేయగలుగుతారు.

ఉదాహరణ 2 $2 ~cm$ ద్వారా $2 ~cm$ ద్వారా $2 ~cm$ కొలతలు ఉన్న రెండు ఘనాలు పక్కపక్కనే ఉంచినట్లయితే, ఫలితంగా వచ్చే దీర్ఘఘనం యొక్క కొలతలు ఏమిటి?

సాధన

మీరు చూడగలిగినట్లుగా (Fig 13.18) పక్కపక్కనే ఉంచినప్పుడు, పొడవు మాత్రమే పెరిగే కొలత, అది $2+2=4 ~cm$ అవుతుంది.

వెడల్పు $=2 ~cm$ మరియు ఎత్తు $=2 ~cm$.

ప్రయత్నించండి

Fig 13.19

1. రెండు పాచికలు చూపిన విధంగా పక్కపక్కనే ఉంచబడ్డాయి: ఎదురుగా ఉన్న ముఖంపై మొత్తం ఎంత ఉంటుందో మీరు చెప్పగలరా

(a) $5+6$

(b) $4+3$

(పాచికలో ఎదురెదురు ముఖాలపై సంఖ్యల మొత్తం 7 అని గుర్తుంచుకోండి)

2. ప్రతి ఒక్కటి $2 ~cm$ అంచు ఉన్న మూడు ఘనాలు పక్కపక్కనే ఉంచబడి దీర్ఘఘనాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. ఓబ్లిక్ స్కెచ్ను తయారు చేయడానికి ప్రయత్నించండి మరియు దాని పొడవు, వెడల్పు మరియు ఎత్తు ఏమిటో చెప్పండి.

13.5 ఘనం యొక్క వివిధ విభాగాలను చూడటం

ఇప్పుడు 3-Dలో ఉన్న వస్తువును వివిధ మార్గాల్లో ఎలా చూడవచ్చో చూద్దాం.

13.5.1 వస్తువును చూడటానికి ఒక మార్గం కత్తిరించడం లేదా స్లైసింగ్ స్లైసింగ్ గేమ్

ఇక్కడ బ్రెడ్ యొక్క ఒక రొట్టె ఉంది (Fig 13.20). ఇది చతురస్రాకార ముఖం ఉన్న దీర్ఘఘనం వలె ఉంటుంది. మీరు దానిని కత్తితో ‘స్లైస్’ చేస్తారు.

Fig 13.20

మీరు ‘నిలువు’ కట్ ఇచ్చినప్పుడు, మీకు Fig 13.20లో చూపిన విధంగా అనేక ముక్కలు లభిస్తాయి. ముక్క యొక్క ప్రతి ముఖం ఒక చతురస్రం! మేము ఈ ముఖాన్ని మొత్తం బ్రెడ్ యొక్క ‘క్రాస్-సెక్షన్’ అని పిలుస్తాము. ఈ సందర్భంలో క్రాస్ సెక్షన్ దాదాపు చతురస్రం.

జాగ్రత్త! మీ కట్ ‘నిలువు’ కాకపోతే మీరు వేరే క్రాస్ సెక్షన్ పొందవచ్చు! దాని గురించి ఆలోచించండి. మీరు పొందే క్రాస్-సెక్షన్ యొక్క సరిహద్దు ఒక సమతల వక్రం. మీరు దాన్ని గమనించారా?

ఒక వంటగది ఆట

వంటగదిలో వంట ప్రయోజనాల కోసం కూరగాయలు కత్తిరించినప్పుడు కొన్ని కూరగాయల క్రాస్-సెక్షన్లను మీరు గమనించారా? వివిధ స్లైస్లను గమనించండి మరియు క్రాస్-సెక్షన్లుగా ఫలితంగా వచ్చే ఆకారాల గురించి తెలుసుకోండి.

దీన్ని ఆడండి

కింది ఘనాల యొక్క క్లే (లేదా ప్లాస్టిసిన్) మోడల్లను తయారు చేయండి మరియు నిలువు లేదా అడ్డంగా కట్ ఇవ్వండి.

మీరు పొందే క్రాస్-సెక్షన్ల యొక్క సుమారు స్కెచ్లను గీయండి. మీరు చెయ్యగలిగిన చోట వాటికి పేరు పెట్టండి.

Fig 13.21

అభ్య