13.1 تعارف: سطحی اشکال اور ٹھوس اشکال

اس باب میں، آپ ان اشکال کو درجہ بندی کریں گے جو آپ نے دیکھے ہیں، اُس پہلو کے لحاظ سے جسے بُعد (dimension) کہا جاتا ہے۔

ہماری روزمرہ کی زندگی میں، ہم اپنے اردگرد کئی اشیاء جیسے کتابیں، گیندیں، آئس کریم کے کون وغیرہ دیکھتے ہیں جن کے مختلف اشکال ہوتے ہیں۔ ان میں سے زیادہ تر اشیاء میں ایک چیز مشترک ہے کہ ان سب کی کچھ لمبائی، چوڑائی اور اونچائی یا گہرائی ہوتی ہے۔

یعنی، وہ سب جگہ گھیرتی ہیں اور ان کے تین ابعاد ہوتے ہیں۔

لہٰذا، انہیں تین جہتی اشکال کہا جاتا ہے۔

کیا آپ کو کچھ تین جہتی اشکال (یعنی، ٹھوس اشکال) یاد ہیں جو ہم نے پچھلی جماعتوں میں دیکھے تھے؟

یہ کریں

ان میں سے ہر ایک کی طرح بنی کچھ اشیاء کو پہچاننے کی کوشش کریں۔

اسی طرح کے استدلال سے، ہم کہہ سکتے ہیں کہ کاغذ پر بنائے گئے وہ اشکال جن کی صرف لمبائی اور چوڑائی ہوتی ہے، دو جہتی (یعنی، سطحی) اشکال کہلاتے ہیں۔ ہم نے پچھلی جماعتوں میں کچھ دو جہتی اشکال بھی دیکھے ہیں۔

دو جہتی اشکال کو ناموں سے ملائیں (شکل 13.2):

نوٹ: ہم 2-بعد کے لیے مختصراً 2-D اور 3-بعد کے لیے مختصراً 3-D لکھ سکتے ہیں۔

13.2 سطحیں، کنارے اور راسیں

کیا آپ کو ٹھوس اشکال کی سطحیں، راسیں اور کنارے یاد ہیں، جن کا آپ نے پہلے مطالعہ کیا تھا؟ یہاں آپ انہیں ایک مکعب کے لیے دیکھ رہے ہیں:

مکعب کے 8 کونے اس کی راسیں ہیں۔ وہ 12 خطی قطعات جو مکعب کا ڈھانچہ بناتی ہیں اس کے کنارے ہیں۔ وہ 6 چپٹی مربع سطحیں جو مکعب کی کھال ہیں اس کی سطحیں ہیں۔

یہ کریں

درج ذیل جدول مکمل کریں:

کیا آپ دیکھ سکتے ہیں کہ دو جہتی اشکال کو تین جہتی اشکال کی سطحوں کے طور پر پہچانا جا سکتا ہے؟ مثال کے طور پر ایک سلنڈر کے دو سطحیں ہیں جو دائرے ہیں، اور ایک ہرم، جو اس طرح کا شکل رکھتا ہے، کے سطح مثلث ہیں۔

اب ہم یہ دیکھنے کی کوشش کریں گے کہ ان میں سے کچھ 3-D اشکال کو 2-D سطح پر، یعنی کاغذ پر، کیسے دیکھا جا سکتا ہے۔

ایسا کرنے کے لیے، ہم تین جہتی اشیاء سے قریب سے واقف ہونا چاہیں گے۔ آئیے ان اشیاء کو بنانے کی کوشش کریں جو نیٹس کہلاتے ہیں۔

13.3 3-D اشکال بنانے کے لیے نیٹس

ایک گتے کا ڈبہ لیں۔ ڈبے کو چپٹا کرنے کے لیے کناروں کو کاٹیں۔ اب آپ کے پاس اس ڈبے کا ایک نیٹ ہے۔ ایک نیٹ 2-D میں ایک قسم کا ڈھانچے کا خاکہ ہوتا ہے [شکل 13.4 (i)]، جو جب موڑا جاتا ہے [شکل 13.4 (ii)]، تو ایک 3-D شکل بناتا ہے [شکل 13.4 (iii)]۔

یہاں آپ نے کناروں کو مناسب طریقے سے الگ کر کے ایک نیٹ حاصل کیا۔ کیا اس کا الٹ عمل ممکن ہے؟

یہاں ایک ڈبے کے لیے ایک نیٹ پیٹرن ہے (شکل 13.5)۔ نیٹ کی بڑی کاپی بنائیں اور مناسب طریقے سے موڑ کر اور چپکا کر ڈبہ بنانے کی کوشش کریں۔ (آپ مناسب اکائیاں استعمال کر سکتے ہیں)۔ ڈبہ ایک ٹھوس ہے۔ یہ ایک مکعب نما شکل کا 3-D شے ہے۔

اسی طرح، آپ ایک مخروط کے لیے اس کی ترچھی سطح کے ساتھ ایک شگاف کاٹ کر ایک نیٹ حاصل کر سکتے ہیں (شکل 13.6)۔

مختلف اشکال کے لیے آپ کے پاس مختلف نیٹس ہوتے ہیں۔ دیے گئے نیٹس کی بڑی کاپیاں بنائیں (شکل 13.7) اور بتائی گئی 3-D اشکال بنانے کی کوشش کریں۔ (آپ گتے کی پٹیوں کا استعمال کرتے ہوئے کاغذی کلپس سے باندھ کر ڈھانچے کے ماڈل بھی بنانا پسند کر سکتے ہیں)۔

ہم غزہ (مصر) میں عظیم ہرم جیسا ہرم بنانے کے لیے ایک نیٹ بنانے کی بھی کوشش کر سکتے ہیں (شکل 13.8)۔ اس ہرم کا ایک مربع اساس ہے اور چاروں طرف مثلث ہیں۔

دیکھیں کہ کیا آپ اسے دیے گئے نیٹ سے بنا سکتے ہیں (شکل 13.9)۔

یہ کریں

یہاں آپ کو چار نیٹس ملتے ہیں (شکل 13.10)۔ ان میں سے دو درست نیٹس ایک tetrahedron بنانے کے لیے ہیں۔ دیکھیں کہ کیا آپ یہ معلوم کر سکتے ہیں کہ کون سے نیٹس tetrahedron بنائیں گے۔

مشق 13.1

1. ان نیٹس کی شناخت کریں جو مکعب بنانے کے لیے استعمال ہو سکتے ہیں (نیٹس کی کاپیاں کاٹ کر آزما لیں):

2. پانسے ایسے مکعب ہیں جن کے ہر سطح پر نقطے ہوتے ہیں۔ پانسے کے مخالف سطحوں پر ہمیشہ نقطوں کا کل سات ہوتا ہے۔

یہاں پانسے (مکعب) بنانے کے لیے دو نیٹس ہیں؛ ہر مربع میں ڈالی گئی تعداد اس خانے میں نقطوں کی تعداد ظاہر کرتی ہے۔

خالی جگہوں میں مناسب اعداد ڈالیں، یاد رکھیں کہ مخالف سطحوں پر اعداد کا مجموعہ 7 ہونا چاہیے۔

3. کیا یہ ایک پانسے کا نیٹ ہو سکتا ہے؟

اپنے جواب کی وضاحت کریں۔

4. یہاں ایک مکعب بنانے کے لیے ایک ادھورا نیٹ ہے۔ اسے کم از کم دو مختلف طریقوں سے مکمل کریں۔ یاد رکھیں کہ ایک مکعب کے چھ سطح ہوتے ہیں۔ یہاں نیٹ میں کتنے ہیں؟ (دو الگ خاکے دیں۔ اگر آپ چاہیں تو آسانی کے لیے مربع والا کاغذ استعمال کر سکتے ہیں۔)

5. نیٹس کو مناسب ٹھوس اشکال سے ملائیں:

یہ کھیل کھیلیں

آپ اور آپ کا دوست پیٹھ پیٹھی کے ساتھ بیٹھیں۔ آپ میں سے ایک 3-D شکل بنانے کے لیے ایک نیٹ پڑھ کر سنائے، جبکہ دوسرا اس کی نقل کرنے اور بیان کردہ 3-D شے کا خاکہ بنانے یا تعمیر کرنے کی کوشش کرے۔

13.4 ٹھوس اشکال کو ایک چپٹی سطح پر بنانا

آپ کی بنانے کی سطح کاغذ ہے، جو چپٹی ہے۔ جب آپ کوئی ٹھوس شکل بناتے ہیں، تو تصاویر کچھ مسخ ہوتی ہیں تاکہ وہ تین جہتی نظر آئیں۔ یہ ایک بصری دھوکہ ہے۔ آپ کو یہاں دو تکنیکیں ملیں گی جو آپ کی مدد کر سکتی ہیں۔

13.4.1 ترچھے خاکے

یہاں ایک مکعب کی تصویر ہے (شکل 13.11)۔ یہ واضح اندازہ دیتی ہے کہ جب مکعب کو سامنے سے دیکھا جائے تو وہ کیسا دکھائی دیتا ہے۔ آپ کچھ سطحیں نہیں دیکھ پاتے۔ بنائی گئی تصویر میں، لمبائیاں برابر نہیں ہیں، جیسا کہ ایک مکعب میں ہونا چاہیے۔ پھر بھی، آپ اسے مکعب کے طور پر پہچاننے کے قابل ہیں۔ ٹھوس کی اس طرح کی خاکہ کو ترچھا خاکہ کہتے ہیں۔

آپ ایسے خاکے کیسے بنا سکتے ہیں؟ آئیے تکنیک سیکھنے کی کوشش کرتے ہیں۔

آپ کو مربع والا (لکیروں یا نقطوں والا) کاغذ چاہیے۔ ابتدائی طور پر ان شیٹوں پر بنانے کی مشق بعد میں اسے آسان بنا دے گی کہ آپ انہیں سادہ شیٹ پر (مربع لکیروں یا نقطوں کی مدد کے بغیر!) بنا سکیں۔ آئیے ایک $3 \times 3 \times 3$ (ہر کنارہ 3 اکائیوں کا) مکعب کا ترچھا خاکہ بنانے کی کوشش کرتے ہیں (شکل 13.12)۔

اوپر دیے گئے ترچھے خاکے میں، کیا آپ نے مندرجہ ذیل نوٹ کیا؟

(i) سامنے والی سطح اور اس کے مخالف کا سائز ایک جیسا ہے؛ اور

(ii) کنارے، جو ایک مکعب میں سب برابر ہوتے ہیں، خاکے میں ایسے ہی دکھائی دیتے ہیں، حالانکہ کناروں کی اصل پیمائشیں ایسی نہیں لی گئی ہیں۔

اب آپ ایک مکعب نما (یاد رکھیں اس صورت میں سطحیں مستطیل ہیں) کا ترچھا خاکہ بنانے کی کوشش کر سکتے ہیں۔

نوٹ: آپ ایسے خاکے بنا سکتے ہیں جن میں پیمائشیں بھی کسی دیے گئے ٹھوس کی پیمائشوں سے مطابقت رکھتی ہوں۔ ایسا کرنے کے لیے ہمیں وہ چیز درکار ہے جسے isometric شیٹ کہتے ہیں۔ آئیے دی گئی isometric شیٹ پر $4 ~cm$ لمبائی، $3 ~cm$ چوڑائی اور $3 ~cm$ اونچائی کے ابعاد والا ایک مکعب نما بنانے کی کوشش کریں۔

13.4.2 Isometric خاکے

کیا آپ نے isometric نقطوں والی شیٹ دیکھی ہے؟ (کتاب کے آخر میں ایک نمونہ دیا گیا ہے)۔ ایسی شیٹ کاغذ کو چھوٹے مساوی الاضلاع مثلثوں میں تقسیم کرتی ہے جو نقطوں یا لکیروں سے بنے ہوتے ہیں۔ ایسے خاکے بنانے کے لیے جن میں پیمائشیں بھی ٹھوس کی پیمائشوں سے مطابقت رکھتی ہوں، ہم isometric نقطوں والی شیٹس استعمال کر سکتے ہیں۔ [کتاب کے تیسرے کور پیج کے اندرونی طرف دی گئی ہے۔]

آئیے ابعاد $4 \times 3 \times 3$ (جس کا مطلب ہے لمبائی، چوڑائی اور اونچائی بنانے والے کنارے بالترتیب 4, 3, 3 اکائیاں ہیں) والے ایک مکعب نما کا isometric خاکہ بنانے کی کوشش کرتے ہیں (شکل 13.13)۔

نوٹ کریں کہ isometric خاکے میں پیمائشیں عین سائز کی ہوتی ہیں؛

مثال 1 یہاں ایک مکعب نما کا ترچھا خاکہ ہے [شکل 13.14(i)]۔ ایک isometric خاکہ بنائیں جو اس خاکے سے مطابقت رکھتا ہو۔

حل

یہاں حل ہے [شکل 13.14(ii)]۔ نوٹ کریں کہ پیمائشوں کا خیال کیسے رکھا گیا ہے۔

آپ نے (i) ‘لمبائی’ کے ساتھ کتنی اکائیاں لی ہیں؟ (ii) ‘چوڑائی’ کے ساتھ؟ (iii) ‘اونچائی’ کے ساتھ؟ کیا وہ ترچھے خاکے میں مذکور اکائیوں سے ملتی ہیں؟

مشق 13.2

1. Isometric نقطوں والا کاغذ استعمال کریں اور دی گئی ہر شکل کے لیے ایک isometric خاکہ بنائیں:

2. ایک مکعب نما کے ابعاد $5 ~cm, 3 ~cm$ اور $2 ~cm$ ہیں۔ اس مکعب نما کے تین مختلف isometric خاکے بنائیں۔

3. تین مکعب، ہر ایک کے کنارے $2 ~cm$، ایک دوسرے کے ساتھ رکھے گئے ہیں تاکہ ایک مکعب نما بنے۔ اس مکعب نما کا ترچھا یا isometric خاکہ بنائیں۔

4. دی گئی ہر isometric شکل کے لیے ایک ترچھا خاکہ بنائیں:

5. مندرجہ ذیل میں سے ہر ایک کے لیے (i) ایک ترچھا خاکہ اور (ii) ایک isometric خاکہ بنائیں:

(الف) ابعاد $5 ~cm, 3 ~cm$ اور $2 ~cm$ والا ایک مکعب نما۔ (کیا آپ کا خاکہ منفرد ہے؟)

(ب) $4 ~cm$ لمبے کنارے والا ایک مکعب۔

کتاب کے آخر میں ایک isometric شیٹ منسلک ہے۔ آپ اس پر کچھ مکعب یا مکعب نما بنانے کی کوشش کر سکتے ہیں جن کے ابعاد آپ کے دوست بتائے۔

13.4.3 ٹھوس اشیاء کا تصور کرنا

یہ کریں

کبھی کبھی جب آپ ملاپ شدہ اشکال کو دیکھتے ہیں، تو ان میں سے کچھ آپ کی نظر سے اوجھل ہو سکتی ہیں۔

یہاں کچھ سرگرمیاں ہیں جو آپ اپنے فارغ وقت میں کر سکتے ہیں تاکہ آپ کو کچھ ٹھوس اشیاء اور ان کے ظاہری شکل کا تصور کرنے میں مدد ملے۔ کچھ مکعب لیں اور انہیں شکل 13.16 میں دکھائے گئے طریقے سے ترتیب دیں۔

اب اپنے دوست سے پوچھیں کہ تیر کے نشان سے دکھائے گئے منظر سے دیکھنے پر کتنے مکعب ہیں۔

یہ کریں

درج ذیل ترتیبوں میں مکعبوں کی تعداد کا اندازہ لگانے کی کوشش کریں (شکل 13.17)۔

ایسا تصور کرنا بہت مددگار ہے۔ فرض کریں آپ ایسے مکعبوں کو جوڑ کر ایک مکعب نما بناتے ہیں۔ آپ اندازہ لگا سکیں گے کہ مکعب نما کی لمبائی، چوڑائی اور اونچائی کیا ہوگی۔

مثال 2 اگر ابعاد $2 ~cm$ بذریعہ $2 ~cm$ بذریعہ $2 ~cm$ والے دو مکعب ایک دوسرے کے ساتھ رکھے جائیں، تو نتیجے میں بننے والے مکعب نما کے ابعاد کیا ہوں گے؟

حل

جیسا کہ آپ دیکھ سکتے ہیں (شکل 13.18) جب ساتھ ساتھ رکھا جاتا ہے، تو صرف لمبائی کی پیمائش بڑھتی ہے، وہ $2+2=4 ~cm$ ہو جاتی ہے۔

چوڑائی $=2 ~cm$ اور اونچائی $=2 ~cm$ رہتی ہے۔

یہ کریں

شکل 13.19

1. دو پانسے ایک دوسرے کے ساتھ اس طرح رکھے گئے ہیں جیسا کہ دکھایا گیا ہے: کیا آپ بتا سکتے ہیں کہ مندرجہ ذیل کے مخالف سطح پر کل کیا ہوگا؟

(الف) $5+6$

(ب) $4+3$

(یاد رکھیں کہ پانسے میں مخالف سطحوں پر اعداد کا مجموعہ 7 ہوتا ہے)

2. تین مکعب، ہر ایک کے کنارے $2 ~cm$، ایک دوسرے کے ساتھ رکھے گئے ہیں تاکہ ایک مکعب نما بنے۔ ایک ترچھا خاکہ بنانے کی کوشش کریں اور بتائیں کہ اس کی لمبائی، چوڑائی اور اونچائی کیا ہو سکتی ہے۔

13.5 ٹھوس کے مختلف حصے دیکھنا

اب آئیے دیکھتے ہیں کہ ایک شے جو 3-D میں ہے، اسے مختلف طریقوں سے کیسے دیکھا جا سکتا ہے۔

13.5.1 کسی شے کو دیکھنے کا ایک طریقہ کاٹنا یا چیرنا ہے۔ چیرنے کا کھیل

یہاں روٹی کا ایک ڈلا ہے (شکل 13.20)۔ یہ ایک مربع سطح والے مکعب نما کی طرح ہے۔ آپ اسے چاقو سے ‘چیرتے’ ہیں۔

شکل 13.20

جب آپ ‘عمودی’ کٹ لگاتے ہیں، تو آپ کو کئی ٹکڑے ملتے ہیں، جیسا کہ شکل 13.20 میں دکھایا گیا ہے۔ ہر ٹکڑے کی سطح ایک مربع ہے! ہم اس سطح کو پوری روٹی کا ‘کراس سیکشن’ کہتے ہیں۔ اس صورت میں کراس سیکشن تقریباً ایک مربع ہے۔

ہوشیار! اگر آپ کا کٹ ‘عمودی’ نہیں ہے تو آپ کو ایک مختلف کراس سیکشن مل سکتا ہے! اس کے بارے میں سوچیں۔ جو کراس سیکشن آپ حاصل کرتے ہیں اس کی سرحد ایک مستوی منحنی ہے۔ کیا آپ اسے محسوس کرتے ہیں؟

باورچی خانے کا کھیل

کیا آپ نے کچھ سبزیوں کے کراس سیکشن دیکھے ہیں جب انہیں باورچی خانے میں پکانے کے لیے کاٹا جاتا ہے؟ مختلف قتلے دیکھیں اور ان اشکال سے آگاہ ہوں جو کراس سیکشن کے طور پر بنتے ہیں۔

یہ کھیلیں

درج ذیل ٹھوس اشکال کے مٹی (یا پلاسٹی سین) کے ماڈل بنائیں اور عمودی یا افقی کٹ لگائیں۔

آپ کو ملنے والے کراس سیکشن کے کچھ خاکے بنائیں۔ جہاں ممکن ہو ان کے نام دیں۔

شکل 13.21

مشق 13.3

1. جب آپ مندرجہ ذیل ٹھوس اشکال کو

(i) عمودی کٹ $\qquad$ (ii) افقی کٹ

دیتے ہیں تو آپ کو کیا کراس سیکشن ملتے ہیں؟

(الف) اینٹ $\qquad$ (ب) گول سیب $\qquad$ (ج) پانسہ

(د) گول پائپ $\qquad$ (ہ) آئس کریم کا مخروط

13.5.2 ایک اور طریقہ سایہ کھیل ہے۔

سایہ کھیل

سائے ایک اچھا طریقہ ہیں یہ ظاہر کرنے کے لیے کہ تین جہتی اشیاء کو دو جہتی میں کیسے دیکھا جا سکتا ہے۔ کیا آپ نے سایہ کھیل دیکھا ہے؟ یہ روشن پس منظر کے سامنے ٹھوس جوڑدار پُتلوں کا استعمال کرتے ہوئے تفریح کی ایک شکل ہے تاکہ حرکت کرتی

شکل 13.22 تصاویر کا تاثر پیدا کیا جا سکے۔ یہ ریاضی کے خیالات کا کچھ بالواسطہ استعمال کرتا ہے۔

اس سرگرمی کے لیے آپ کو روشنی کا ذریعہ اور کچھ ٹھوس اشکال کی ضرورت ہوگی۔ (اگر آپ کے پاس اوور ہیڈ پروجیکٹر ہے، تو ٹھوس کو لیمپ کے نیچے رکھیں اور یہ تحقیقات کریں۔)

ایک ٹارچ لائٹ، ایک مخروط کے بالکل سامنے رکھیں۔ یہ اسکرین پر کس قسم کا سایہ ڈالتا ہے؟

شکل 13.23 (شکل 13.23)

ٹھوس تین جہتی ہے؛ سایے کا بُعد کیا ہے؟

اگر، مخروط کی بجائے، آپ اوپر والے کھیل میں ایک مکعب رکھیں، تو آپ کو کس قسم کا سایہ ملے گا؟

روشنی کے ذریعے کی مختلف پوزیشنوں اور ٹھوس شے کی مختلف پوزیشنوں کے ساتھ تجربہ کریں۔ آپ کو ملنے والے سایوں کی اشکال اور سائز پر ان کے اثرات کا مطالعہ کریں۔

یہاں ایک اور مزیدار تجربہ ہے جو شاید آپ نے پہلے ہی کر لیا ہو: ایک گول پلیٹ کھلی جگہ پر اس وقت رکھیں جب دوپہر کا وقت ہو اور سورج بالکل اس کے اوپر ہو جیسا کہ شکل 13.24 (i) میں دکھایا گیا ہے۔ آپ کو کیا سایہ ملتا ہے؟

(i)

کیا یہ

سورج کی پوزیشن اور مشاہدے کے وقت کے لحاظ سے سایوں کا مطالعہ کریں۔

مشق 13.4

1. ایک بلب مندرجہ ذیل ٹھوس اشکال کے بالکل اوپر جلایا جا رہا ہے۔ ہر صورت میں حاصل ہونے والے سایوں کی شکل کا نام دیں۔ سایے کا ایک کچا خاکہ بنانے کی کوشش کریں۔ (آپ پہلے تجربہ کر سکتے ہیں اور پھر ان سوالات کے جواب دیں)۔

2. یہاں کچھ 3-D اشیاء کے سائے ہیں، جب انہیں اوور ہیڈ پروجیکٹر کے لیمپ کے نیچے دیکھا جاتا ہے۔ ہر سایے سے ملنے والی ٹھوس شے (شے) کی شناخت کریں۔ (ان کے لیے متعدد جوابات ہو سکتے ہیں!)

3. جانچیں کہ کیا مندرجہ ذیل سچے بیان ہیں:

(i) مکعب ایک مستطیل کی شکل میں سایہ ڈال سکتا ہے۔

(ii) مکعب ایک مسدس کی شکل میں سایہ ڈال سکتا ہے۔

13.5.3 تیسرا طریقہ یہ ہے کہ اسے مخصوص زاویوں سے دیکھا جائے تاکہ مختلف نظارے حاصل ہوں۔

کوئی شخص کسی شے کو اس کے سامنے کھڑے ہو کر یا اس کے پہلو میں سے یا اوپر سے دیکھ سکتا ہے۔ ہر بار ایک مختلف نظارہ ملے گا (شکل 13.25)۔

یہاں ایک مثال ہے کہ کسی دیے گئے عمارت کے مختلف نظارے کیسے ملتے ہیں۔ (شکل 13.26)

آپ یہ کام مکعبوں کو جوڑ کر بنائی گئی اشکال کے لیے کر سکتے ہیں۔

مکعبوں کو ایک ساتھ جوڑنے اور پھر مختلف اطراف سے ایسے خاکے بنانے کی کوشش کریں۔

یہ کریں

1. ہر ٹھوس کے لیے، تین نظارے (1)، (2)، (3) دیے گئے ہیں۔ ہر ٹھوس کے لیے متعلقہ اوپر، سامنے اور پہلو کے نظارے کی شناخت کریں۔

2. ہر ٹھوس کا ایک نظارہ بنائیں جیسا کہ تیر کے نشان سے ظاہر کردہ سمت سے دیکھا جاتا ہے۔

ہم نے کیا بحث کی؟

1. دائرہ، مربع، مستطیل، چوکور اور مثلث سطحی اشکال کی مثالیں ہیں؛ مکعب، مکعب نما، کرہ، سلنڈر، مخروط اور ہرم ٹھوس اشکال کی مثالیں ہیں۔

2. سطحی اشکال دو جہتی (2-D) ہوتے ہیں اور ٹھوس اشکال تین جہتی (3-D) ہوتے ہیں۔

3. ٹھوس شکل کے کونے اس کی راسیں کہلاتے ہیں؛ اس کے ڈھانچے کے خطی قطعات اس کے کنارے ہوتے ہیں؛ اور اس کی چپٹی سطحیں اس کی سطحیں ہوتی ہیں۔

4. نیٹ ٹھوس کا ایک ڈھانچے کا خاکہ ہوتا ہے جسے موڑ کر اسے بنایا جا سکتا ہے۔ ایک ہی ٹھوس کے کئی قسم کے نیٹس ہو سکتے ہیں۔

5. ٹھوس اشکال کو حقیقت پسندانہ طور پر ایک چپٹی سطح (جیسے کاغذ) پر بنایا جا سکتا ہے۔ ہم اسے 3-D ٹھوس کی 2-D نمائندگی کہتے ہیں۔

6. ٹھوس کے دو قسم کے خاکے ممکن ہیں:

(الف) ترچھا خاکہ متناسب لمبائیاں نہیں رکھتا۔ پھر بھی یہ ٹھوس کی ظاہری شکل کے تمام اہم پہلوؤں کو منتقل کرتا ہے۔

(ب) isometric خاکہ isometric نقطوں والے کاغذ پر بنایا جاتا ہے، جس کا نمونہ اس کتاب کے آخر میں دیا گیا ہے۔ ٹھوس کے isometric خاکے میں پیمائشیں متناسب رکھی جاتی ہیں۔

7. ٹھوس اشکال کا تصور کرنا ایک بہت مفید مہارت ہے۔ آپ کو ٹھوس شکل کے ‘پوشیدہ’ حصے دیکھنے کے قابل ہونا چاہیے۔

8. ٹھوس کے مختلف حصے کئی طریقوں سے دیکھے جا سکتے ہیں:

(الف) ایک طریقہ شکل کو کاٹ کر یا چیر کر دیکھنا ہے، جس کے نتیجے میں ٹھوس کا کراس سیکشن بنے گا۔

(ب) ایک اور طریقہ 3-D شکل کے 2-D سایے کا مشاہدہ کرنا ہے۔

(ج) تیسرا طریقہ شکل کو مختلف زاویوں سے دیکھنا ہے؛ سامنے کا نظارہ، پہلو کا نظارہ اور اوپر کا نظارہ مشاہدہ کی گئی شکل کے بارے میں بہت سی معلومات فراہم کر سکتے ہیں۔